Question

[Nguyễn Ngọc Thiện Nhân]

câu1:tính tổng

\(S=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{20}+...+\frac{1}{2352}+\frac{1}{2450}\)

câu2:tính tích

\(P=\left(1-\frac{1}{2}\right).\left(1-\frac{1}{3}\right).\left(1-\frac{1}{4}\right)......\left(1-\frac{1}{99}\right).\left(1-\frac{1}{100}\right)\)

câu3:cho biểu thức

\(M=1+3+3^2+3^3+...+3^{118}+3^{119}\)

a)thu gọn biểu thức M

b)biểu thức Mcó chia hết cho 5,cho13

câu4:

tính \(A=2^{100}-2^{99}-2^{98}-...-2^2-2-1\)

câu5:cho \(C=1.2+2.3+3.4+...+99.100\)

a)tính giá trị của biểu thức C

b)dùng kết quả của câu a hãy tính

\(D=2^2+4^2+6^2+...+98^2\)

Answer 1

[Xyz OLM]

Câu 1 Tính 

\(S=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{20}+...+\frac{1}{2352}+\frac{1}{2450}=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{48.49}+\frac{1}{49.50}\)

\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{48}-\frac{1}{49}+\frac{1}{49}-\frac{1}{50}=1-\frac{1}{50}=\frac{49}{50}\)

Câu 2 Tính 

\(P=\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{4}\right)...\left(1-\frac{1}{99}\right)\left(1-\frac{1}{100}\right)=\frac{1}{2}.\frac{2}{3}.\frac{3}{4}...\frac{98}{99}.\frac{99}{100}\)

\(=\frac{1.2.3...98.99}{2.3.4...99.100}=\frac{1}{100}\)

Câu 3 

a) Ta có : M = 1 + 3 + 3² + 3³ + ... + 3¹¹⁸ + 3¹¹⁹ (1)

=> 3M = 3 + 3² + 3³ + 3⁴ + ... + 3¹¹⁹ + 3¹²⁰  (2)

Lấy (2) trừ (1) theo vế ta có : 

3M - M = (3 + 3² + 3³ + 3⁴ + ... + 3¹¹⁹ + 3¹²⁰) - ( M = 1 + 3 + 3² + 3³ + ... + 3¹¹⁸ + 3¹¹⁹)

=>  2M = 3¹²⁰ - 1

=>    M = \(\frac{3^{120}-1}{2}\)

b) M = 1 + 3 + 3² + 3³ + ... + 3¹¹⁸ + 3¹¹⁹

        = (1 + 3 + 3²) + (3³ + 3⁴ + 3⁵) + ... + (3¹¹⁷ + 3¹¹⁸ + 3¹¹⁹)

        = (1 + 3 + 3²) + 3³(1 + 3 + 3²) + ... + 3¹¹⁷(1 + 3 + 3²)

        = 13 + 3³.13 + ... + 3¹¹⁷.13

        = 13(1 + 3³ + ... + 3¹¹⁷) \(⋮\)13

=> M \(⋮\)13

M = 1 + 3 + 3² + 3³ + ... + 3¹¹⁸ + 3¹¹⁹

= (1 + 3 + 3² + 3³) + (3⁴ + 3⁵ + 3⁶ + 3⁷) + ... + (3¹¹⁶ + 3¹¹⁷ + 3¹¹⁸ + 3¹¹⁹)

= (1 + 3 + 3² + 3³) + 3⁴(1 + 3 + 3² + 3³) + ... + 3¹¹⁶(1 + 3 + 3² + 3³)

= 40 + 3⁴.40 + ... + 3¹¹⁶.40

= 40(1 + 3⁴ + ... + 3¹¹⁶) 

= 5.8.(1 + 3⁴ + ... + 3¹¹⁶)  \(⋮\)5

4) Tính 

A = 2¹⁰⁰ - 2⁹⁹ - 2⁹⁸ - ... - 2² - 2 - 1

=> 2A =  2¹⁰¹ - 2¹⁰⁰ - 2⁹⁹ - 2⁹⁸ - 2² - 2 - 1

Lấy 2A trừ A theo vế ta có : 

2A - A = (2¹⁰¹ - 2¹⁰⁰ - 2⁹⁹ - 2⁹⁸ - 2² - 2 - 1) - (2¹⁰⁰ - 2⁹⁹ - 2⁹⁸ - ... - 2² - 2 - 1)

=>   A = 2¹⁰¹ - 2¹⁰⁰ - 2¹⁰⁰ + 1

=>   A = 2¹⁰¹ - (2¹⁰⁰ + 2¹⁰⁰) + 1

=>   A  = 2¹⁰¹ - 2¹⁰⁰ . 2 + 1

=>   A = 1

Câu 5 a) C = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 99.100

=> 3C = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + .... + 99.100.3

          = 1.2.3 + 2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + ... + 99.100.(101 - 98)

          = 1.2.3 + 2.3.4 - 1.2.3 + 3.4.5 - 2.3.4 + ... + 99.100.101 - 98.99.100

          = 99.100.101 

=> C = 99.100.101 : 3 =  333300

b) Ta có : D = 2² + 4² + 6² + ... + 98²

                    = 2²(1² + 2²  + 3² + ... + 49²

                    =  2² .(1² + 2²  + 3² + ... + 49²)

                    = 2².(1.1 + 2.2 + 3.3 + ... + 49.49)

                    = 2².[1.(2 - 1) + 2..(3 - 1) + 3(4 - 1) + ... + 49(50 - 1)]

                    = 2².[(1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 49.50) - (1 + 2 + 3 + 4 + ... + 49)]

Đặt E = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 49.50

=> 3E = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + .... + 49.50.3

          = 1.2.3 + 2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + ... + 49.50.(51 - 48)

          = 1.2.3 + 2.3.4 - 1.2.3 + 3.4.5 - 2.3.4 + ... + 49.50.51 - 48.49.50

          = 49.50.51 

=> E = 49.50.51/3 = 41650

Khi đó D = 2².[41650 - (1 + 2 + 3 + 4 + ... + 49)]

               = 2².[41650 - 49(49 + 1)/2]

               = 2².[41650 - 1225 

               = 2².40425

               = 161700

=> D = 161700