Question

[MONKEY.D.LUFFY]

Từ điểm A nằm ngoài đường tròn(O) , vẽ tiếp tuyến AB đến (O)( B là tiếp điểm ). Vẽ BE là đường kính của (O). Dựng đường cao BC của tam giác OAB, tia BC cắt (O) tại D(D khác B)

a, Chừng minh AD là tiếp tuến của (O) và OA//DE

b, Gọi F là giao điểm của AE và(O)(F khác E). Chứng minh AE.AF=AC.AO

c, Gọi G là giao điểm của BF và ED, H là giao điểm của AE và BD, I là giao điểm của AB và DE. Chứng minh GH//AB và AB=AI

Answer 1

[Hara Nisagami]

*(Bạn tự vẽ hình nha)*

a) Ta có : OB=OD(=bán kính)

=> Tam giác ODB cân tại O

Mà OC là đường cao của tam giác ODB

Nên OC cũng là đường phân giác của tam giác ODB

=> \(\widehat{BOC}=\widehat{COD}\) hay \(\widehat{BOA=}\widehat{AOD}\)

Xét tam giác ABO và tam giác ADO

Có : OB=OD ( = bán kính)

\(\widehat{BOA=}\widehat{AOD}\) (cmt)

OA chung

Nên tam giác ABO = tam giác ADO (c.g.c)

=> \(\widehat{ABO}=\widehat{ADO}\left(=90^o\right)\)

Do đó AD là tiếp tuyến của (O).

*CM: OA//DE

Ta có : góc DEB = \(\frac{1}{2}sđ\stackrel\frown{BD}\) (1)

Lại có góc BOD = sđ\(\stackrel\frown{BD}\)

Mà góc BOA = 1/2 gócBOD

Nên Góc BOA =1/2sđ \(\stackrel\frown{BD}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{BOA}=\widehat{DEO}\)

mà 2 góc này nằm ở vị trí đồng vị

suy ra OA//DE.

b)

Vì F thuộc đường tròn đường kính BE

Nên góc BFE = 90^o

Xét tam giác ABE vuông tại B có :

BF là đường cao

=> AE . AF = AB²

Chứng minh tương tự, ta có : AC.AO=AD²

Mà AB = AD (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau)

Do đó AB²=AD²

Suy ra : AE . AF =AC.AO.

c)

Vì D thuộc đường tròn đường kính BE

Nên góc BDE = 90^o

Ta có : BD là đường cao của tam giác BGE

EF là đường cao của tam giác BGE

Mà BD,EF cắt nhau tại H

Do đó H là trực tâm của tam giác BGE

Suy ra : GH ⊥ BE

Lại có AB ⊥ BE

Nên GH // AB.

*CM: AB = AI

Xét tam giác BIE có :

BO = EO (=bán kính); AO//EI (AO//DE)

Nên AB = AI.