Cho a, b, c là sốđo ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:
(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)<=abc
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
21 tháng 9 2019
GIẢI
Giả sử : \(a\ge b\ge c>0\) thì \(a+b\ge a+c\ge b+c\)
Ta có : \(\frac{a}{b+c}=\frac{a}{b+c}\)
\(\frac{b}{c+a}\le\frac{b}{b+c}\)
\(\frac{c}{a+b}\le\frac{c}{b+c}\)
Cộng vế theo vế ta được :
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{c+b}\le\frac{a+b+c}{b+c}\)
Hay : \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{c+b}\le\frac{a}{b+c}+1< 1+1=2\)
Vậy \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{c+b}< 2\)
Chúc bạn học tốt !!!
21 tháng 9 2019
GIẢI
Giả sử : a\ge b\ge c>0a≥b≥c>0 thì a+b\ge a+c\ge b+ca+b≥a+c≥b+c
Ta có : \frac{a}{b+c}=\frac{a}{b+c}b+ca=b+ca
\frac{b}{c+a}\le\frac{b}{b+c}c+ab≤b+cb
\frac{c}{a+b}\le\frac{c}{b+c}a+bc≤b+cc
Cộng vế theo vế ta được :
\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{c+b}\le\frac{a+b+c}{b+c}b+ca+c+ab+c+bc≤b+ca+b+c
Hay : \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{c+b}\le\frac{a}{b+c}+1< 1+1=2b+ca+c+ab+c+bc≤b+ca+1<1+1=2
Vậy \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{c+b}< 2b+ca+c+ab+c+bc<2
28 tháng 4 2020
Ta có a + b > c ; b + c > a ; a + c > b
\(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}>\frac{1}{a+b+c}+\frac{1}{a+b+c}=\frac{2}{a+b+c}>\frac{2}{a+b+a+b}=\frac{1}{a+b}\)
Tương tự : \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}>\frac{1}{b+c},\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}>\frac{1}{a+c}\)
Vậy ...
BC
0
DG
25 tháng 1 2018
Để mình hướng dẫn bằng lời nhé . Nếu đánh ra hết thì rất dài và không tốt cho cậu :
Đặt x= mẫu thứ nhất (1)
y=mẫu thứ hai (2)
z=mẫu thứ ba (3)
Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được .... Cậu tự tính cho tốt.
Sau đó rút c= x+y/2(@@@)
Tương tự với (2) và (3), (1) và (2)
Ta có b=x+z/2(@@)... a=y+z/2(@)
Cộng vế với vế của (@), (@@), (@@@) ta có
vế trái bằng \(\frac{y+z}{2x}+\frac{x+z}{2y}+\frac{y+x}{2z}\)
Đặt 1/2 ra sau đó tách các phân số ra như sau
\(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}+\frac{y}{z}+\frac{x}{z}\)
Dễ dàng chuyển chúng sang BĐT Cauchy sẽ được kết quả cuối cùng là điều cần phải CM... Khó hiểu có thể hỏi lại
27 tháng 1 2018
ai có thể giải ra thành bài luôn được ko, bạn ghi mình khồn hiểu
CY
Cho a,b,c là 3 cạnh của một tam giác chứng minh:
1/a+b ; 1/b+c ; 1/a+c cũng là ba cạnh của 1tam giác
1
28 tháng 1 2021
Vì \(a,b,c\)là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b>c;b+c>a;c+a>b\\a+b;b+c;c+a< a+b+c\end{cases}}\)
Ta có : \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}>\frac{1}{a+b+c}+\frac{1}{a+b+c}=\frac{2}{a+b+c}>\frac{2}{a+c+a+c}=\frac{2}{2\left(a+c\right)}=\frac{1}{a+c}\)
Chứng minh tương tự , ta được: \(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}>\frac{1}{a+b}\)
\(\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}>\frac{1}{b+c}\)
\(\Rightarrowđpcm\)
CA
0
19 tháng 8 2016
Đặt \(x=b+c-a,y=c+a-b,z=a+b-c\) , khi đó : \(\begin{cases}2a=y+z\\2b=x+z\\2c=x+y\end{cases}\)
Ta có : \(\frac{2a}{b+c-a}+\frac{2b}{c+a-b}+\frac{2c}{a+b-c}=\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}=\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)\)
\(\ge2+2+2=6\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\ge3\)
NT
30 tháng 8 2016
ta có \(\frac{a}{b+c}-1+\frac{b}{a+c}-1+\frac{c}{a+b}-1=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}-3\) vì a b c là cách cạnh của tam giác nên biểu thức trên >= 3
CA
1
19 tháng 12 2015
nguyễn hồng quân đấy là phim hành động nhé chứ không phải phim hoạt hình nhé bạn !!!
Cô si thôi:
\(0\le\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\le\frac{\left(b+c-a\right)+\left(c+a-b\right)}{2}=c\)
\(0\le\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)\le\frac{\left(c+a-b\right)+\left(a+b-c\right)}{2}=a\)
\(0\le\left(b+c-a\right)\left(a+b-c\right)\le\frac{\left(b+c-a\right)+\left(a+b-c\right)}{2}=b\)
\(\Rightarrow0\le\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)\le abc\)
(Dấu "=" khi và chỉ khi a = b = c hay tam giác ABC đều)