Cho a,b,c,d > 0. Tìm min
S= a/b+c+d+b/a+c+d+c/a+b+d+d/a+b+b+c+d/a+a+c+d/b+a+b+d/c+a+b+c/d
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
17 tháng 7 2021
Lời giải:
Gọi biểu thức đã cho là $A$.
CM vế 1:
Ta có:
$\frac{a+b}{a+b+c}> \frac{a+b}{a+b+c+d}$
$\frac{b+c}{b+c+d}> \frac{b+c}{a+b+c+d}$
$\frac{c+d}{c+d+a}> \frac{c+d}{a+b+c+d}$
$\frac{d+a}{d+a+b}> \frac{d+a}{a+b+c+d}$
Cộng lại: $A> \frac{2(a+b+c+d)}{a+b+c+d}=2>1$
CM vế 2:
Ta thấy $\frac{a+b}{a+b+c}-\frac{a+b+d}{a+b+c+d}=\frac{-cd}{(a+b+c)(a+b+c+d)}< 0$ với $a,b,c,d>0$
$\Rightarrow \frac{a+b}{a+b+c}< \frac{a+b+d}{a+b+c+d}$
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại:
$\Rightarrow A< \frac{3(a+b+c+d)}{a+b+c+d}=3$
Ta có đpcm.
6 tháng 7 2021
1, \(\dfrac{a}{b+c+d}=\dfrac{b}{a+c+d}=\dfrac{c}{a+b+d}=\dfrac{d}{a+b+c}=\dfrac{a+b+c+d}{3\left(a+b+c+d\right)}=\dfrac{1}{3}\)
Do đó \(\left\{{}\begin{matrix}3a=b+c+d\left(1\right)\\3b=a+c+d\left(2\right)\\3c=a+b+d\left(3\right)\\3d=a+b+c\left(4\right)\end{matrix}\right.\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow3\left(a+b\right)=a+b+2c+2d\Leftrightarrow2\left(a+b\right)=2\left(c+d\right)\Leftrightarrow a+b=c+d\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{c+d}=1\)
Tương tự cũng có: \(\dfrac{b+c}{a+d}=1;\dfrac{c+d}{a+b}=1;\dfrac{d+a}{b+c}=1\)
\(\Rightarrow A=4\)
2, Có \(\dfrac{x^3}{8}=\dfrac{y^3}{64}=\dfrac{z^3}{216}\Leftrightarrow\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{4}=\dfrac{z}{6}\)\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{4}=\dfrac{y^2}{16}=\dfrac{z^2}{36}=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{4+16+36}=\dfrac{14}{56}=\dfrac{1}{4}\)
Do đó \(\dfrac{x^2}{4}=\dfrac{1}{4};\dfrac{y^2}{16}=\dfrac{1}{4};\dfrac{z^2}{36}=\dfrac{1}{4}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2=1\\y^2=4\\z^2=9\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\pm1\\y=\pm2\\z=\pm3\end{matrix}\right.\)
Vậy \(\left(x;y;z\right)=\left(1;2;3\right),\left(-1;-2;-3\right)\)
6 tháng 7 2021
Bài 2 :
a, Ta có : \(\dfrac{x^3}{8}=\dfrac{y^3}{64}=\dfrac{z^3}{216}\)
\(\Rightarrow\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{4}=\dfrac{z}{6}\)
\(\Rightarrow\dfrac{x^2}{4}=\dfrac{y^2}{16}=\dfrac{z^2}{36}=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{4+16+36}=\dfrac{1}{4}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2=1\\y^2=4\\z^2=9\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\pm1\\y=\pm2\\z=\pm3\end{matrix}\right.\)
Vậy ...
b, Ta có : \(\dfrac{2x+1}{5}=\dfrac{3y-2}{7}=\dfrac{2x+3y-1}{5+7}=\dfrac{2x+3y-1}{6x}\)
\(\Rightarrow6x=12\)
\(\Rightarrow x=2\)
\(\Rightarrow y=3\)
Vậy ...
15 tháng 7 2017
Cộng thêm 1 vào mỗi đẳng thức, ta được :
\(\frac{a}{b+c+d}+1=\frac{b}{a+c+d}+1=\frac{c}{a+b+d}+1=\frac{d}{a+b+c}+1\)
\(\frac{a+b+c+d}{b+c+d}=\frac{a+b+c+d}{a+c+d}=\frac{a+b+c+d}{a+b+d}=\frac{a+b+c+d}{a+b+c}\)
Vì các tử số của mỗi tỉ số bằng nhau suy ra các mẫu số của mỗi tỉ số bằng nhau
\(\Rightarrow b+c+d=a+c+d=a+b+d=a+b+c\)
\(\Rightarrow a=b=c=d\)
\(A=\frac{a+b}{c+d}+\frac{b+c}{a+d}+\frac{a+d}{a+b}+\frac{d+a}{c+d}\)
\(A=1+1+1+1=4\)
LM
24 tháng 9 2016
\(\frac{a}{b+c+d}=\frac{b}{a+c+d}=\frac{c}{a+b+d}=\)\(\frac{d}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow1+\frac{a}{b+c+d}=1+\frac{b}{a+c+d}=1+\frac{c}{a+b+d}=1+\frac{d}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{a+b+c+d}{b+c+d}=\frac{a+b+c+d}{a+c+d}=\frac{a+b+c+d}{a+b+d}=\frac{a+b+c+d}{a+b+c}\)
Mà: \(a+b+c+d\ne0\Rightarrow b+c+d=a+c+d=a+b+d=a+b+c\)
\(\Rightarrow a=b=c=d\)
\(\Rightarrow A=\frac{a+b}{c+d}+\frac{b+c}{a+d}+\frac{c+d}{a+b}+\frac{d+a}{b+c}=\frac{a+a}{a+a}+\frac{b+b}{b+b}+\frac{c+c}{c+c}+\frac{d+d}{d+d}\)
\(\Rightarrow A=1+1+1+1=4\)
24 tháng 9 2016
số đo slaf
4
nhe sbn
bài dài
lắm mình
vhir tiện ghi
thế này thôi
5 tháng 1 2016
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có a/(b+c+d)=b/(c+d+a)=c/(a+b+d)=d/(a+b+c)=(a+b+c+d)/(b+c+d+c+d+a+a+b+d+a+b+c)
=(a+b+c+d)/(3a+3b+3c+3d)=1/3
vì a+b+c+d khác 0 nên a=b=c=d
từ đó =>A=(a+a)/(a+a)+(a+a)/(a+a)+(a+a)/(a+a)+(a+a)/(a+a)=1+1+1+1=4
23 tháng 11 2016
Ta có
\(4\left(a+b+c+d\right)^2=\left(\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+d\right)+\left(d+a\right)\right)^2\)
\(=\left(\frac{\sqrt{a+b}}{\sqrt{b+c+d}}.\sqrt{a+b}.\sqrt{b+c+d}+\frac{\sqrt{b+c}}{\sqrt{c+d+a}}.\sqrt{b+c}.\sqrt{c+d+a}+\frac{\sqrt{c+d}}{\sqrt{d+a+b}}.\sqrt{c+d}.\sqrt{d+a+b}+\frac{\sqrt{d+a}}{\sqrt{a+b+c}}.\sqrt{d+a}.\sqrt{a+b+c}\right)^2\)
\(\le\left(\frac{a+b}{b+c+d}+\frac{b+c}{c+d+a}+\frac{c+d}{d+a+b}+\frac{d+a}{a+b+c}\right)\left(\left(a+b\right)\left(b+c+d\right)+\left(b+c\right)\left(c+d+a\right)+\left(c+d\right)\left(d+a+b\right)+\left(d+a\right)\left(a+b+c\right)\right)\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{4\left(a+b+c+d\right)^2}{\left(\left(a+b\right)\left(b+c+d\right)+\left(b+c\right)\left(c+d+a\right)+\left(c+d\right)\left(d+a+b\right)+\left(d+a\right)\left(a+b+c\right)\right)}\)(1)
Ta chứng minh
\(4\left(a+b+c+d\right)^2\ge\frac{8}{3}\left(\left(a+b\right)\left(b+c+d\right)+\left(b+c\right)\left(c+d+a\right)+\left(c+d\right)\left(d+a+b\right)+\left(d+a\right)\left(a+b+c\right)\right)\left(2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2-2ac-2bd\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-c\right)^2+\left(b-d\right)^2\ge0\)(đúng)
Từ (1) và (2) ta
\(\Rightarrow\frac{a+b}{b+c+d}+\frac{b+c}{c+d+a}+\frac{c+d}{d+a+b}+\frac{d+a}{a+b+c}\ge\frac{8}{3}\)
Dấu = xảy ra khi a = b = c = d
Cô si lên:
\(S\ge8\sqrt[8]{\frac{abcd\left(b+c+d\right)\left(a+c+d\right)\left(a+b+d\right)\left(a+b+c\right)}{abcd\left(b+c+d\right)\left(a+c+d\right)\left(a+b+d\right)\left(a+b+c\right)}}=8\)
๖²⁴ʱČøøℓ ɮøү 2к⁷༉ Liệu điểm rơi có xảy ra ???
Dùng \(\Sigma_{cyc}\) với \(\Pi_{cyc}\) cho nó lẹ nha,chớ mik nhác lắm:((
\(S=\Sigma_{cyc}\left(\frac{a}{b+c+d}+\frac{b+c+d}{a}\right)\)
\(=\Sigma_{cyc}\left(\frac{a}{b+c+d}+\frac{b+c+d}{9a}\right)+\Sigma_{cyc}\frac{8}{9}\cdot\frac{b+c+d}{a}\)
\(\ge8\sqrt[8]{\Pi_{cyc}\frac{a}{b+c+d}\cdot\Pi_{cyc}\frac{b+c+d}{9a}}+\frac{8}{9}\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{d}{a}+\frac{a}{b}+\frac{c}{b}+\frac{d}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{d}{c}+\frac{a}{d}+\frac{b}{d}+\frac{c}{d}\right)\)
\(\ge\frac{8}{3}+\frac{8}{9}\cdot12\left(use:\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\right)\)
\(=\frac{40}{3}\)
Dấu "=" xảy ra tại a=b=c=d.
P/S:Viết tắt rồi mà vẫn dài:( Thử hỏi xem nếu ko viết thì sao ??