Cho x, y, z. Tìm G của biểu thức \(P=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+z}+\frac{z}{x+y}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
PN
29 tháng 8 2016
từ dữ kiện của đề bài cho.
ta cộng lần lượt các vế của đẳng thức với 1
sau đó quy đồng ta sẽ dễ dàng nhìn thấy x=y=z=t
suy ra P=4
18 tháng 8 2016
Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau :\(\frac{x}{y+z+t}=\frac{y}{z+t+x}=\frac{z}{t+x+y}=\frac{t}{x+y+z}=\frac{x+y+z+t}{3\left(x+y+z+t\right)}=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow\begin{cases}x+y+z=3t\\y+z+t=3x\\z+t+x=3y\\t+x+y=3z\end{cases}\) => x = y = z = t
Thay vào P được : \(P=1+1+1+1=4\)
18 tháng 8 2016
Sao thủy
Sao kim
Trái đất
Sao hỏa
Sao mộc
Sao thổ
Sao thiên vương
Sao hải vương
T
8 tháng 5 2019
Anh xét hiệu P - 3/2 rồi làm như cách của em: Câu hỏi của Namek kian - Toán lớp 9 ạ ! Từ đó suy ra P >= 3/2. Hoặc có thể làm thẳng luôn như 4 bạn kia.
8 tháng 5 2019
\(P=\frac{x}{y+z}+1+\frac{y}{z+x}+1+\frac{z}{x+y}+1-3\)
\(=\frac{x+y+z}{y+z}+\frac{x+y+z}{z+x}+\frac{x+y+z}{x+y}-3\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y}\right)-3\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y}\ge\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}\)
\(\Leftrightarrow P\ge\left(x+y+z\right).\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}-3=\frac{3}{2}\left(đpcm\right)\)
Dấu '=' xảy ra khi \(x=y=z\)
:))
T
25 tháng 11 2018
Cộng 1 vào mỗi đẳng thức,ta có:
\(\frac{x}{y+z+t}+1=\frac{y}{z+t+x}+1=\frac{z}{t+x+y}+1=\frac{t}{x+y+z}+1\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y+z+t}{y+z+t}=\frac{x+y+z+t}{y+z+t}=\frac{x+y+z+t}{t+x+y}=\frac{x+y+z+t}{x+y+z}\)
Do đó:
Nếu x + y + z + t = 0 thì P = -4
Nếu x + y + z + t ≠ 0 thì x = y = z = t nên P = 4
T
25 tháng 11 2018
Giải thích thêm chỗ x + y + z + t = 0 suy ra \(P=-4\) nha:
Ta có: x + y + z + t =0
Suy ra: x + y = -(z+t) ;y + z = -(x+t)
z+ t = -(x + y); t + x = -(z+y)
Do đó: \(P=\frac{x+y}{z+t}+\frac{y+z}{t+x}+\frac{z+t}{x+y}+\frac{t+x}{z+y}\)
\(=\frac{-\left(z+t\right)}{z+t}+\frac{-\left(t+x\right)}{t+x}+\frac{-\left(x+y\right)}{x+y}+\frac{-\left(z+y\right)}{t+x}\)
\(=\left(-1\right)+\left(-1\right)+\left(-1\right)+\left(-1\right)=-4\)
*còn chỗ x + y + z + t khác không suy ra x = y = z = t thì quá đơn giản r =))
L
2 tháng 3 2017
đây là cách lớp 9 nên cố hiểu nhá , ngoài ra có thể tham khảo ở sách nâng cao và phát triển toán 8 trang 43
áp dụng BĐT cosi cho 3 số dương ta có
\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=9\)
với a=y+z, b=z+x, c=x+y ta đc
\(2\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y}\right)\ge9\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y}\right)\ge4,5\)
\(\Rightarrow\frac{x+y+z}{y+z}+\frac{x+y+z}{x+z}+\frac{x+y+z}{x+y}\ge4,5\)
\(\Rightarrow\frac{x}{y+x}+1+\frac{y}{x+z}+1+\frac{z}{x+y}+1\ge4,5\)
\(\Rightarrow\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\ge1,5\)
vậy minA=1,5 khi y+z=x+z=x+y khi x=y=z
2 tháng 3 2017
\(P=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\)
\(P=\frac{x^2}{xy+xz}+\frac{y^2}{zy+xy}+\frac{z^2}{xz+yz}\)
Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số
\(P=\frac{x^2}{xy+xz}+\frac{y^2}{zy+xy}+\frac{z^2}{xz+yz}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)}\)( 1 )
Theo hệ quả của bất đẳng thức Cauchy ta có
\(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)
\(\Rightarrow\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+xz}\ge1\)
\(\Rightarrow\frac{x^2+y^2+z^2}{2\left(xy+yz+xz\right)}\ge\frac{1}{2}\)
Từ ( 1 )
\(P=\frac{x^2}{xy+xz}+\frac{y^2}{zy+xy}+\frac{z^2}{xz+yz}\ge\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{1}{2}\)
Vậy GTNN của \(P=\frac{1}{2}\)
Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z\)
S
10 tháng 6 2019
\(P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=1.\)
Dấu "=" xảy ra khi:
\(x=y=z=\frac{2}{3}\)
10 tháng 6 2019
Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương \(\frac{x^2}{y+z}\)và \(\frac{y+z}{4}\), ta được :
\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y+z}.\frac{y+z}{4}}=2.\frac{x}{2}=x\) ( 1 )
Tương tự : \(\frac{y^2}{x+z}+\frac{x+z}{4}\ge y\) ( 2 )
\(\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge z\) ( 3 )
Cộng ( 1 ) , ( 2 ) và ( 3 ) , ta được :
\(\left(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\right)+\frac{x+y+z}{2}\ge x+y+z\)
\(P\ge\left(x+y+z\right)-\frac{x+y+z}{2}=1\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)x = y = z = \(\frac{2}{3}\)
Vậy GTNN của P là 1 \(\Leftrightarrow\)x = y = z = \(\frac{2}{3}\)
15 tháng 5 2017
Haiz..........Bùi Tiến Phi , Biết vậy bạn nói sớm đi có phải tốt hơn không
======================================================
Xét : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\), Áp dụng BĐT Cauchy dạng engel , ta suy ra : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{2^2}{a+b}=\frac{4}{a+b}\)=>\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\frac{1}{4}\ge\frac{1}{a+b}\)
Dấu ''='' xảy ra khi a=b
Ta có B = \(\frac{x}{2x+y+z}+\frac{y}{x+2y+z}+\frac{z}{x+y+2z}\)
= \(\frac{x}{\left(x+y\right)+\left(z+z\right)}+\frac{y}{\left(x+y\right)+\left(y+z\right)}\)+ \(\frac{z}{\left(x+z\right)+\left(z+y\right)}\)
Áp dụng BĐT vừa c.m vào , ta suy ra :
\(\frac{1}{4}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{z+x}\right)\ge\frac{x}{\left(x+y\right)+\left(z+x\right)}\). Dấu "="xảy ra ....
Tương tự \(\frac{1}{4}\left(\frac{y}{x+y}+\frac{y}{y+z}\right)\ge\frac{y}{x+2y+z}\). Dấu "="......
Và \(\frac{1}{4}\left(\frac{z}{z+x}+\frac{z}{y+z}\right)\ge\frac{z}{x+y+2z}\). Dấu "=".....
Cộng vế với vế , ta suy ra :
\(\frac{1}{4}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}+\frac{y}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{x+z}+\frac{z}{y+z}\right)\) \(\ge M\)
Hay \(\frac{3}{4}\ge M\)
Dấu " =" xảy ra khi x=y=z
Mà x+y+z=3 => Max B = \(\frac{3}{4}\), tại x=y=z =1
===========================
nói tí , có vẻ hơi bị thừa dữ kiện : z+x+y = 3 , nếu ko có nó Max B vẫn luôn bằng \(\frac{3}{4}\)
14 tháng 5 2017
cái đề nó đau ở chỗ x+y+z=3 , giá như mà thay bằng x,y,z>0 thì xong rồi...........haiz
20 tháng 10 2016
ta có: \(\frac{x}{y+z+t}=\frac{y}{z+t+x}=\frac{z}{t+x+y}=\frac{t}{x+y+z}=\frac{1}{3}.\)
=> 3x = y+z + t ( 1) ; 3y = z+ t + x (2) ; 3z = t + x + y (3) ; 3t = x + y + z (4)
từ (3) và (4) => x + y = 3t - z = 3 z - t => 4t = 4z => t = z (5)
từ ( 1) và ( 2) => t + z = 3x - y = 3y - x => x = y ( 6)
từ (2) và (3) => x + t = 3y - z = 3z - y => y = z (7)
từ ( 5) ; ( 6) và (7) ta có : x = y = z = t thay vào biểu thức P ta được : P = 4
Ta sẽ chứng minh BĐT phụ sau : \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
Áp dụng BĐT Cauchy dạng Engel , ta có :
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=\frac{3^2}{a+b+c}=\frac{9}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
Trong đó : \(\hept{\begin{cases}a=x+y\\b=y+z\\c=z+x\end{cases}}\) , Ta có :
\(\left(x+y+y+z+x+z\right)\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}\right)\ge9\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}\right)\ge4,5\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y+z}{x+y}+\frac{x+y+z}{y+z}+\frac{x+y+z}{z+x}\ge4,5\)
\(\Leftrightarrow1+\frac{z}{x+y}+1+\frac{x}{y+z}+1+\frac{y}{x+z}\ge4,5\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{z+y}\ge1,5\)
\(\Rightarrow P_{min}=1,5\) " = " \(\Leftrightarrow x=y=z\)
Chúc bạn học tốt !!!