Question

[Quyết Tâm Chiến Thắng]

Bài 1:Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b=1.Tìm GTNN của bt sau

\(a,A=\frac{2}{ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{a^4+b^4}{2}\)

\(b,B=\frac{1}{ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{a^8+b^8}{4}\)

Bài 2:Cho a,b,c là 3 số dương thỏa mãn a+b+c=9.tìm GTNN của bt

\(a,A=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{b+a}\)    \(b,B=\frac{a^3}{c^2+b^2}+\frac{b^3}{a^2+c^2}+\frac{c^3}{a^2+b^2}\)

Bai 3:Cho x,y là 2 số dương thỏa mãn \(x^2+y^2=4\) Tìm GTNN của bt \(A=\left(x+\frac{1}{y}\right)^2+\left(y+\frac{1}{x}\right)^2\)

Bài 4 Cho a,b,c là các số không âm thỏa mãn a+b+c=1 Tìm GTLN của bt

\(a,A=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{a+c}\)  \(b,B=\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ac}{a+c}\)

Answer 1

[Nyatmax]

1a

\(A=\frac{3}{2ab}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{a^4+b^4}{2}\ge\frac{6}{\left(a+b\right)^2}+\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}}{2}\)

\(\ge10+\frac{\left[\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\right]^2}{4}=10+\frac{1}{16}=\frac{161}{16}\)

Dau '=' xay ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)

Vay \(A_{min}=\frac{161}{16}\)

Answer 2

[Nyatmax]

1b.\(B=\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{a^8+b^8}{4}\ge\frac{2}{\left(a+b\right)^2}+\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{\frac{\left(a^4+b^4\right)^2}{2}}{4}\)

\(\ge6+\frac{\left[\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\right]^2}{8}\ge6+\frac{\left[\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\right]^2}{32}=6+\frac{1}{128}=\frac{769}{128}\)

Dau '=' xay ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)

Vay \(B_{min}=\frac{769}{128}\)khi \(a=b=\frac{1}{2}\)