1. a/ cho 6 số dương a,b,c,x,y,z thỏa mãn : ax by cz=xyz. cmr: $x y z>\sqrt{a b} \sqrt{b c} \sqrt{c a}$ b/ cm: $\sqrt{\frac{a}{b c}} \sqrt{\frac{b}{a c}} \sqrt{\frac{c}{b c}}>2$ với a,b,c >0 2....

2

TT

Trần Thanh Phương

25 tháng 8 2019

1b/

Áp dụng BĐT Cô-si :
$\sqrt{\frac{b+c}{a}}\le\frac{\frac{b+c}{a}+1}{2}=\frac{\frac{a+b+c}{a}}{2}=\frac{a+b+c}{2a}$

$\Rightarrow\sqrt{\frac{a}{b+c}}\ge\frac{2a}{a+b+c}$

Chứng minh tương tự:

$\sqrt{\frac{b}{c+a}}\ge\frac{2b}{a+b+c}$; $\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2c}{a+b+c}$

Cộng theo vế ta được :

$VT\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2$

Dấu "=" không xảy ra nên $VT>2$.

2a/ Chắc là tính GT của $x+y$.

$\left(x+\sqrt{x^2+2013}\right)\left(y+\sqrt{y^2+2013}\right)=2013$

$\Leftrightarrow\left(x-\sqrt{x^2+2013}\right)\left(x+\sqrt{x^2+2013}\right)\left(y+\sqrt{y^2+2013}\right)=2013\left(x-\sqrt{x^2+2013}\right)$

$\Leftrightarrow\left(x^2-x^2-2013\right)\left(y+\sqrt{y^2+2013}\right)=2013\left(x-\sqrt{x^2+2013}\right)$

$\Leftrightarrow-2013\left(y+\sqrt{y^2+2013}\right)=2013\left(x-\sqrt{x^2+2013}\right)$

$\Leftrightarrow y+\sqrt{y^2+2013}=\sqrt{x^2+2013}-x$

Do vai trò $x,y$ là như nhau nên thiết lập tương tự ta có :

$x+\sqrt{x^2+2013}=\sqrt{y^2+2013}-y$

Cộng theo vế 2 pt ta được :

$x+y+\sqrt{x^2+2013}+\sqrt{y^2+2013}=\sqrt{x^2+2013}+\sqrt{y^2+2013}-x-y$

$\Leftrightarrow2\left(x+y\right)=0$

$\Leftrightarrow x+y=0$

Vậy....

TT

Trần Thanh Phương

25 tháng 8 2019

2b/

Đặt $A=5a^2+15ab-b^2$ và $B=3a+b$

Ta có $B^2=\left(3a+b\right)^2=9a^2+6ab+b^2$

Lấy $A+B^2=5a^2+15a-b^2+9a^2+6ab+b^2$

$A+B^2=14a^2+21ab$

$A+B^2=7\left(2a+3ab\right)⋮7$

Mà $A⋮7$ ( vì $A⋮49$ ) nên $B^2⋮7$

Vì 7 nguyên tố nên $B⋮7$ ( đpcm )

VQ

vũ quỳnh trang

15 tháng 7 2019

cho a,b,c,x,y,z>0

CMR $\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}$⇔$\sqrt{ax}+\sqrt{by}+\sqrt{cz}=\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(x+y+z\right)}$

giúp mình với mình cần gấp lắm =))))))

1

VH

Vũ Huy Hoàng

16 tháng 7 2019

$\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}$⇒ $ay=bx;bz=cy;cx=az$

⇒ $\left(\sqrt{ay}-\sqrt{bx}\right)^2+\left(\sqrt{bz}-\sqrt{cy}\right)^2+\left(\sqrt{cx}-\sqrt{az}\right)^2$$=0$

⇒ $ay+az+bx+bz+cx+cy=2\left(\sqrt{aybx}+\sqrt{bzcy}+\sqrt{cxaz}\right)$

⇒ $ax+ay+az+bx+by+bz+cx+cy+cz=ax+by+cz+2\left(\sqrt{axby}+\sqrt{bycz}+\sqrt{czax}\right)$

⇒ $\left(a+b+c\right)\left(x+y+z\right)=\left(\sqrt{ax}+\sqrt{by}+\sqrt{cz}\right)^2$

⇒ $\sqrt{ax}+\sqrt{by}+\sqrt{cz}=\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(x+y+z\right)}$

Vậy ....

KV

Khánh Vy

29 tháng 4 2019

Câu hỏi hay

cho các số dương a,b,c,x,y,z thỏa mãn điều kiện xyz = ax + by + cz. Chứng minh rằng :

$x+y+z>\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}$

1

PM

Phùng Minh Quân

29 tháng 4 2019

Ta có :

$x=\frac{ax}{yz}+\frac{b}{z}+\frac{c}{y}$

$y=\frac{a}{z}+\frac{by}{zx}+\frac{c}{x}$

$z=\frac{a}{y}+\frac{b}{x}+\frac{xy}{cz}$

$\Rightarrow$$x+y+z=\left(\frac{ax}{yz}+\frac{by}{zx}+\frac{cz}{xy}\right)+\frac{b+c}{x}+\frac{c+a}{y}+\frac{a+b}{z}>\frac{b+c}{z}+\frac{c+a}{y}+\frac{a+b}{z}$

$\ge\frac{\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)^2}{x+y+z}$

$\Leftrightarrow$$\left(x+y+z\right)^2>\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)^2$

$\Leftrightarrow$$x+y+z>\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}$ ( đpcm )

Bài 1: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a+b+c=5, √a+√b+√c=3. Tính giá trị biểu thức M = $\frac{\sqrt{a}}{a+2} + \frac{\sqrt{b}}{b+2} + \frac{\sqrt{c}}{c+2} - \frac{4}{\sqrt{(a+2)(b+2)(c+2)}}$Bài 2: Tìm các số thực x$\geq 0$ sao cho E = $\frac{\sqrt{x}}{x\sqrt{x}-2\sqrt{x}+2}$ nhận giá trị nguyênBài 3: Tìm các số thực x, y, z thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+\sqrt{y-2}=2\\ \sqrt{y+1}+\sqrt{z-3}=3\\ \sqrt{z+5}+\sqrt{x+3}=5...

NA

Ngo Anh

4 tháng 7 2019

1. Cho các số $a,b,c$dương thỏa mãn $ab+ac+bc=1$CMR : P= $\frac{2a}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}\le\frac{9}{4}$2. Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn xyz=1Tìm GTLN của biểu thức $A=\frac{1}{x^3+y^3+1}+\frac{1}{z^3+y^3+1}+\frac{1}{z^3+x^3+1}$3. Giải pta) $\sqrt{x^2-3x+2}+\sqrt{x+3}=\sqrt{x-2}+\sqrt{x^2+2x-3}$b)$CM:\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\ge\sqrt{\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2}$c) Cho đường thẳng y=...

0

LL

loan leo

11 tháng 12 2016

1

LD

l҉o҉n҉g҉ d҉z҉

15 tháng 11 2020

4a) Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :

$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}\times\frac{y}{x}}=2$

Đẳng thức xảy ra khi x = y > 0

TK

Thiều Khánh Vi

19 tháng 8 2019

1.Cho a,b,c dương, a+b+c≤1.CMR: $\frac{a^2+1}{a}+\frac{b^2+1}{b}+\frac{c^2+1}{c}\ge10$
2.Cho a,b, c >0. CMR: $\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\ge\sqrt{82};x+y+z\le1$

#Toán lớp 10

2

TT

Trần Thanh Phương

19 tháng 8 2019

2.

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki :

$\left(1+9^2\right)\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\ge\left(x+\frac{9}{x}\right)^2$

$\Leftrightarrow82\cdot\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\ge\left(x+\frac{9}{x}\right)^2$

$\Leftrightarrow\sqrt{82}\cdot\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}\ge x+\frac{9}{x}$

Tương tự ta cũng có :

$\sqrt{82}\cdot\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}\ge y+\frac{9}{y}$

$\sqrt{82}\cdot\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\ge z+\frac{9}{z}$

Cộng theo vế của các bất đẳng thức ta được :

$\sqrt{82}\cdot\left(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\right)\ge x+y+z+\frac{9}{x}+\frac{9}{y}+\frac{9}{z}$

$\Leftrightarrow\sqrt{82}\cdot P\ge x+\frac{9}{x}+y+\frac{9}{y}+z+\frac{9}{z}$(1)

Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :

$x+\frac{9}{x}+y+\frac{9}{y}+z+\frac{9}{z}=81x+\frac{9}{x}+81y+\frac{9}{y}+81z+\frac{9}{z}-80x-80y-80z$

$\ge2\sqrt{\frac{81x\cdot9}{x}}+2\sqrt{\frac{81y\cdot9}{y}}+2\sqrt{\frac{81z\cdot9}{z}}-80\left(x+y+z\right)$

$\ge2\sqrt{729}+2\sqrt{729}+2\sqrt{729}-80\cdot1$

$=82$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\sqrt{82}\cdot P\ge82$

$\Leftrightarrow P\ge\sqrt{82}$ ( đpcm )

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}$

TT

Trần Thanh Phương

19 tháng 8 2019

1.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy :

$\frac{a^2+1}{a}+\frac{b^2+1}{b}+\frac{c^2+1}{c}$

$=a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b}+c+\frac{1}{c}$

$=9a+\frac{1}{a}+9b+\frac{1}{b}+9c+\frac{1}{c}-8a-8b-8c$

$\ge2\sqrt{\frac{9a}{a}}+2\sqrt{\frac{9b}{b}}+2\sqrt{\frac{9c}{c}}-8\left(a+b+c\right)$

$\ge3\cdot2\sqrt{9}-8=10$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$

LH

LUU HA

13 tháng 9 2020

Cho $\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}$CMR :

$\sqrt[3]{ax}+\sqrt[3]{by}+\sqrt[3]{cz}=\sqrt[3]{\left(a+b+c\right)\left(x+y+z\right)}$

1

S

shitbo

13 tháng 9 2020

$\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}=k\text{ thì }a=xk;b=yk;c=zk$

$VT=\sqrt[3]{x^2k}+\sqrt[3]{y^2k}+\sqrt[3]{z^2k}=\sqrt[3]{k}\left(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}+\sqrt[3]{z^2}\right)$

$VP=\sqrt[3]{k\left(x+y+z\right)\left(x+y+z\right)}=\sqrt[3]{k}\sqrt[3]{\left(x+y+z\right)^2}$

đề sai sai

Bài 1: Cho các số thực dương x,y,z. Chứng minh rằng:$\frac{x}{\sqrt{2xy+y^2}}+\frac{y}{\sqrt{2yz+z^2}}+\frac{z}{\sqrt{2zx+x^2}}\ge\sqrt{3}$Bài 2: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: $a+b+c=3$Tìm min của $P=\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{c}}+\frac{c}{\sqrt{a}}$Bài 3: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge\sqrt{a^2+b^2-ab}+\sqrt{b^2+c^2-bc}+\sqrt{c^2+a^2-ca}$Rảnh rỗi...

NM

Nguyễn Minh Đăng

29 tháng 5 2021

0

DK

Đặng Kim Anh

9 tháng 3 2020

1 ) Cho a,b,c >0 và abc= 1.CMR:

$\frac{b+c}{\sqrt{a}}+\frac{c+a}{\sqrt{b}}+\frac{a+b}{\sqrt{c}}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3$

2 ) Cho x,y,z > 0 và x+y+z=3

CMR : $\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}+\frac{y}{y+\sqrt{3y+zx}}+\frac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le1$

3

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

9 tháng 3 2020

a/ $VT\ge\frac{\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}{2\sqrt{a}}+\frac{\left(\sqrt{c}+\sqrt{a}\right)^2}{2\sqrt{b}}+\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{2\sqrt{c}}$

$VT\ge\frac{\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{c}+\sqrt{a}+\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}=2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)$

$VT\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$

$VT\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3\sqrt[3]{\sqrt{abc}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

b/ $VT=\sum\frac{x}{x+\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}}=\sum\frac{x}{x+\sqrt{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}}$

$VT\le\sum\frac{x}{x+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}}=\sum\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1$

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$

HT

Hoàng Thị Ánh Phương

9 tháng 3 2020

Bài 1 :

Áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số không âm ta có :

$VT=\Sigma_{cyc}\frac{b+c}{\sqrt{a}}\ge2\left(\Sigma_{cyc}\sqrt{\frac{bc}{a}}\right)$

$\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{b+c}{\sqrt{a}}\ge\left(\sqrt{\frac{ca}{b}}+\sqrt{\frac{ab}{c}}\right)+\left(\sqrt{\frac{ab}{c}}+\sqrt{\frac{bc}{a}}\right)+\left(\sqrt{\frac{bc}{a}}+\sqrt{\frac{ca}{b}}\right)$

$\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{b+c}{\sqrt{a}}\ge2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$

$+3\sqrt[6]{abc}=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3$

Dấu " = " xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

A

Armldcanv0976

12 tháng 8 2019

a) CMR: (ax+by+cz)$^2$$\le$$\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)$

b) Cho a,b,c>0 thỏa mãn $a^2+b^2+c^2$=1

CMR: $\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{b^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{c^2+1}}\le\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}$