K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

14 tháng 8 2019

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si :

\(\frac{a}{b+c}+\frac{b+c}{4a}\ge2\sqrt{\frac{a\left(b+c\right)}{4a\left(b+c\right)}}=1\)

Tương tự với các phân thức còn lại, sau đó cộng theo vế ta được :

\(VT+\frac{b+c}{4a}+\frac{c+d}{4b}+\frac{d+e}{4c}+\frac{e+a}{4d}+\frac{a+b}{4e}\ge5\)

\(\Leftrightarrow VT\ge5-\frac{1}{4}\left(\frac{b+c}{a}+\frac{c+d}{b}+\frac{d+e}{c}+\frac{e+a}{d}+\frac{a+b}{e}\right)\)

\(=5-\frac{1}{4}\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{d}{b}+\frac{d}{c}+\frac{e}{c}+\frac{e}{d}+\frac{a}{d}+\frac{a}{e}+\frac{b}{e}\right)\)

\(\ge5-\frac{1}{4}\cdot10\sqrt[10]{\frac{b\cdot c\cdot c\cdot d\cdot d\cdot e\cdot e\cdot a\cdot a\cdot b}{a\cdot a\cdot b\cdot b\cdot c\cdot c\cdot d\cdot d\cdot e\cdot e}}=5-\frac{1}{4}\cdot10=\frac{5}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=d=e=1\)

15 tháng 6 2020

@Akai Haruma

17 tháng 3 2018

a, Ta cần phải chứng minh (a+b)(\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\))=1+\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1=2+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge4\) vì

 \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)(cái này bạn tìm hiểu kĩ hơn nha,nhưng mk nghĩ thế này đc rồi đó)

Dấu ''='' xảy ra \(\Leftrightarrow\)a=b.

d,(a+b+c)(\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\))=1+\(\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+1+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+1\)

=3+(\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\))+(\(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\))+(\(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\))\(\ge\)3+2+2+2=9

Dấu ''='' xảy ra \(\Leftrightarrow\)a=b=c

e,Xét hiệu :

\(^{a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)\left(a+b+c\right)}\)  => cái này bạn nhân ra trước rồi phân tích đa thức thành nhân tử nha.

=\(\left(a+b+c\right)\frac{\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2}{2}\ge0\) \(\Rightarrow\)ĐPCM

18 tháng 6 2017

Ta có: a < b => 2a < a + b       (1)

          c < d => 2c < c + d     (2)

          e < f => 2e < e + f      (3)

Cộng ba vế (1),(2),(3) lại ta được:

2a + 2c + 2e < a + b + c + d + e + f

=> 2(a + c + e)  < a + b + c + d + e + f

=> \(\frac{a+c+e}{a+b+c+d+e+f}< \frac{1}{2}\) (đpcm)

15 tháng 2 2019

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwartz ta có: 

      \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{1}{e}\ge\frac{\left(1+1+1+1+1\right)^2}{a+b+c+d+e}=\frac{25}{a+b+c+d+e}\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = d = e

14 tháng 6 2019

\(\hept{\begin{cases}a< b\\c< d\\e< f\end{cases}}\Rightarrow a+c+e< b+d+f\)

                   \(\Rightarrow2\left(a+c+e\right)< a+b+c+d+e+f\)

                 => dpcm

14 tháng 6 2019

Ta có : \(a< b< c< d< e< f\)nên :

\(a+b+c+d+e+f>a+a+c+c+e+e=2\left(a+c+e\right)\)

\(\Rightarrow\frac{a+c+e}{a+b+c+d+e+f}< \frac{a+c+e}{2\left(a+c+e\right)}=\frac{1}{2}\left(đpcm\right).\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
25 tháng 11 2020

Lời giải:

Với $a,b,c,d,e,f\in\mathbb{Z}^+$ ta có:

$\frac{a}{b}>\frac{c}{d}\Rightarrow ad>bc\Leftrightarrow ad-bc>0$

Mà $ad,bc$ đều nguyên nên từ đây suy ra $ad-bc\geq 1(*)$

Tương tự:

$\frac{c}{d}>\frac{e}{f}\Rightarrow cf-ed\geq 1(**)$

Từ $(*); (**)$ suy ra:

$d=d(af-be)=daf-dbe=(daf-bcf)+(bcf-dbe)$

$=f(ad-bc)+b(cf-ed)\geq f.1+b.1$

Hay $d\geq b+f$ (đpcm)

25 tháng 11 2020

Em cảm ơn chị !