Cho tam giác ABC có AB=c, BC=a, AC=b và $P=\frac{a b c}{2}$ CMR: a) (P-a)(P-b)(P-c) $\le$$\frac{1}{8}abc$ b) \(\frac{1}{P-a} \frac{1}{P-b} \frac{1}{P-c}\ge2\left(\frac{1}{a} \frac{1}{b} \frac...

0

MN

Minh Nguyễn Cao

28 tháng 6 2019

Làm giúp tớ đi nha mọi người!!!!

Cho tam giác ABC có BC = a; AC = b; AB = c. CMR:

1) $\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\le\sqrt{3}\left(a+b+c\right)$

2) $|\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}|< \frac{1}{8}$

2

WR

Witch Rose

28 tháng 6 2019

a. Phải là nhỏ hơn hẳn nhé, ko có dấu = đâu

CM:

a,b,c là 3 cạnh 1 tam giác$\Rightarrow\left(a-b\right)^2< c^2\Rightarrow a^2+b^2< c^2+2ab\Rightarrow\sqrt{a^2+b^2}< \sqrt{c^2+2ab}$

cm tương tự ta có: $VT< \sqrt{c^2+2ab}+\sqrt{b^2+2ac}+\sqrt{a^2+2bc}$

Theo BĐT Bunhia $\Rightarrow VT< \sqrt{a^2+2bc}+\sqrt{b^2+2ac}+\sqrt{c^2+2ab}$$\le\sqrt{\left(1+1+1\right)\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\right)}=\sqrt{3\left(a+b+c\right)^2}=\sqrt{3}.\left(a+b+c\right)$

I

Incursion_03

29 tháng 6 2019

2, (cần cù bù thông minh) Quy đồng

$\left|\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}\right|=...=\left|\frac{\left(b-c\right)\left(a-c\right)\left(a-b\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\right|$ (chỗ ba chấm là bước quy đồng tự làm)

$=\frac{\left|a-b\right|}{a+b}.\frac{\left|b-c\right|}{b+c}.\frac{\left|a-c\right|}{a+c}$

$\le\frac{ \left|a-b\right|}{2\sqrt{ab}}.\frac{\left|b-c\right|}{2\sqrt{bc}}.\frac{\left|a-c\right|}{2\sqrt{ca}}\left(Cauchy\right)$

$< \frac{c}{2\sqrt{ab}}.\frac{a}{2\sqrt{bc}}.\frac{b}{2\sqrt{ca}}\left(Bđt\Delta\right)$

$=\frac{1}{8}\left(đpcm\right)$

TS

Tomari Shinnosuke

7 tháng 10 2016

Cho a,b,c>0 và a+b+c$\le$6

CMR:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{abc}\ge\frac{19}{8}$

Bài 1 : cho tam giác ABC có góc A và B nhọn , các đg trung tuyến BM và CN vuông góc với nhau tại G . CMR :$cotB+cotC\ge\frac{2}{3}$Bài 2 Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn có BC=a,CA=b,AB=c....

0

PT

phan thị minh anh

31 tháng 7 2016

1

H

haphuong01

31 tháng 7 2016

Hỏi đáp Toán

PT

phan thị minh anh

31 tháng 7 2016

pn ơi lm hộ t nốt bài 2 câu b,c đc k

CS

Cuồng Song Joong Ki

31 tháng 7 2016

Bài 1 : cho tam giác ABC có góc A và B nhọn , các đg trung tuyến BM và CN vuông góc vs nhau tại G . CMR :$cotB+cotC\ge\frac{2}{3}$

Bài 2 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn có BC=a, CA=b, AB=c. CMR :

a.$a^2=b^2+c^2-2bc.cosA$

b.$sin\frac{A}{2}\le\frac{a}{b+c}$

c.$sin\frac{A}{2}.sin\frac{B}{2}.sin\frac{C}{2}\le\frac{1}{8}$

2

TN

Trần Nhật Huy

31 tháng 7 2016

Từ A vẽ AD _|_ BC ,AG là trung tuyến cắt BC tại E$\Rightarrow$$\hept{\begin{cases}AD\le AE\Rightarrow\frac{1}{AD}\ge\frac{1}{AE}\\1.2GE=BC\left(do\Delta BGCvuongcoElatrungdiem\right)\end{cases}}$

cotB=$\frac{BD}{AD}$cotC=$\frac{CD}{AD}$$\Rightarrow$2.cotB + cotC=$\frac{BC}{AD}$

3.G là trực tâm nên 3GE=AE$\Rightarrow$$\frac{1}{AD}\ge\frac{1}{3GE}$

từ 1, 2 và 3 $\Rightarrow$cotB + cotC=$\frac{BC}{AD}\ge\frac{2GE}{3GE}=\frac{2}{3}$

T

Tuấn

31 tháng 7 2016

$\cot B+\cot C=\frac{BD}{AD}+\frac{CD}{AD}=\frac{BC}{AD}=\frac{BC}{3GH}\ge\frac{2GH}{3GH}=\frac{2}{3}$
VỚI D LÀ CHÂN ĐƯỜNG CAO HẠ TỪ A XUÔNG BC , G LÀ TRỌNG TÂM , H LÀ CHÂN ĐƯỜNG CAO HẠ TỪ G XUỐNG BC
B2 THÌ GIẢI BÌNH THƯỜNG =='. ĐỌC THÊM NCPT 9 NHÉ

NT

Nguyễn Trung Hiếu

20 tháng 11 2016

Trong tam giác ABC. chứng minh rằng:
a) $\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)\le\frac{1}{8}abc$
b) $\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)$
c) $R\ge2r$

1

TN

Thắng Nguyễn

20 tháng 11 2016

a)Ta có:$\left(p-a\right)\left(p-b\right)\le\frac{2p-b-a}{2}=\frac{c^2}{4}$

Tương tự ta có: $\left(p-a\right)\left(p-c\right)\le\frac{b^2}{4};\left(p-b\right)\left(p-c\right)\le\frac{c^2}{4}$

$\Rightarrow\left[\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)\right]^2\le\left(\frac{abc}{8}\right)^2$

$\Rightarrow\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)\le\frac{abc}{8}$

b)$VT=\frac{2}{-a+b+c}+\frac{2}{a-b+c}+\frac{2}{a+b-c}$

$=\frac{1}{-a+b+c}+\frac{1}{a-b+c}+\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{-a+b+c}+\frac{1}{a-b+c}+\frac{1}{a+b-c}$

$\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)$

c giải sau ăn cơm đã

GL

Gia Linh Trần

16 tháng 10 2015

cho tam giac ABC co AB=c;AC=b;BC=a CMR

a/ sin$\frac{A}{2}\le\frac{1}{8}$

b/ $sin\frac{A}{2}.sin\frac{B}{2}.sin\frac{C}{2}\le\frac{1}{8}$

1

S

shitbo

23 tháng 11 2020

câu này có nhiều r

bạn chỉ cần kẻ 1 đường vuông góc là ra

Đề:Cho biết abc = 1. Chứng minh rằng:$\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ac+c+1}$ là hằng số.Giải:Thay 1 = abc vào biểu thức trên, ta...

♡ ♡ ♡ ♡ ♡

21 tháng 12 2016

#Toán lớp 8

1

DT

đoàn thị khánh linh

21 tháng 12 2016

hay

HN

Hiền Nguyễn Thị

17 tháng 11 2019

$\left\{{}\begin{matrix}a,b,c\ge0\\\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}+\frac{1}{1+d}\ge2\end{matrix}\right.$

CMR: $abc\le\frac{1}{8}$

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

17 tháng 11 2019

Chắc bạn ghi nhầm đề, ko có số hạng $\frac{1}{1+d}$

$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\ge2$

$\Leftrightarrow\frac{1}{1+a}\ge1-\frac{1}{1+b}+1-\frac{1}{1+c}=\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\ge2\sqrt{\frac{bc}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}$

Tương tự ta có:

$\frac{1}{1+b}\ge2\sqrt{\frac{ca}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}}$ ; $\frac{1}{1+c}\ge2\sqrt{\frac{ab}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}}$

Nhân vế với vế:

$\frac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge\frac{8abc}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}$

$\Leftrightarrow abc\le\frac{1}{8}$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{2}$

HN

Hiền Nguyễn Thị

17 tháng 11 2019

Cảm ơn bạn. Mk viết nhầm đề và kiểm tra lại mk làm đc rồi

1. cho $0< a\le b\le c$ . Cmr: $\frac{2a^2}{b^2+c^2}+\frac{2b^2}{c^2+a^2}+\frac{2c^2}{a^2+b^2}\le\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}$ 2. cho $a,b,c\ge0$. cmr: $a^2+b^2+c^2+3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\ge2\left(ab+bc+ca\right)$ 3. $a,b,c>0.$ Cmr: $\sqrt{\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)}\ge abc+\sqrt[3]{\left(a^3+abc\right)\left(b^3+abc\right)\left(c^3+abc\right)}$ 4. $a,b,c0$. Tìm Min...

BN

bach nhac lam

19 tháng 10 2019

5

T

tthnew

11 tháng 11 2019

2/ Không mất tính tổng quát, giả sử $c=min\left\{a,b,c\right\}$.

Nếu abc = 0 thì có ít nhất một số bằng 0. Giả sử c = 0. BĐT quy về: $a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0$ (luôn đúng)

Đẳng thức xảy ra khi a = b; c = 0.

Nếu $abc\ne0$. Chia hai vế của BĐT cho $\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}$

BĐT quy về: $\Sigma_{cyc}\sqrt[3]{\frac{a^4}{b^2c^2}}+3\ge2\Sigma_{cyc}\sqrt[3]{\frac{ab}{c^2}}$

Đặt $\sqrt[3]{\frac{a^2}{bc}}=x;\sqrt[3]{\frac{b^2}{ca}}=y;\sqrt[3]{\frac{c^2}{ab}}=z\Rightarrow xyz=1$

Cần chúng minh: $x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)$

$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xyz+1\ge2\left(xy+yz+zx\right)$ (1)

Theo nguyên lí Dirichlet thì trong 3 số x - 1, y - 1, z - 1 tồn tại ít nhất 2 số có tích không âm. Không mất tính tổng quát, giả sử $\left(x-1\right)\left(y-1\right)\ge0$

$\Rightarrow2xyz\ge2xz+2yz-2z$. Thay vào (1):

$VT\ge x^2+y^2+z^2+2xz+2yz-2z+1$

$=\left(x-y\right)^2+\left(z-1\right)^2+2xy+2xz+2yz$

$\ge2\left(xy+yz+zx\right)$

Vậy (1) đúng. BĐT đã được chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c hoặc a = b, c = 0 và các hoán vị.

Check giúp em vs @Nguyễn Việt Lâm, bài dài quá:(

T

tthnew

6 tháng 7 2020

Để đưa về chứng minh $(1)$ và $(2)$ ta dùng:

Định lí SOS: Nếu $X+Y+Z=0$ thì $AX^2+BY^2+CZ^2\ge0$

khi $\left\{{}\begin{matrix}A+B+C\ge0\\AB+BC+CA\ge0\end{matrix}\right.$

Chứng minh: Vì $\sum\left(A+C\right)=2\left(A+B+C\right)\ge0$

Nên ta có thể giả sử $A+C\ge0$. Mà $X+Y+Z=0$ nên$:$

$AX^2+BY^2+CZ^2=AX^2+BY^2+C\left[-\left(X+Y\right)\right]^2$

$={\frac { \left( AX+CX+CY \right) ^{2}}{A+C}}+{\frac {{Y}^{2} \left( AB+AC+BC \right) }{A+C}} \geq 0$