K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

6 tháng 8 2019

A B C H D E F

Gọi D, E, F lần lượt là chân đường cao hạ từ A, B, C của tam giác ABC.

+) \(\Delta AHE~\Delta ACD\)( vì ^HAE =^CAD, ^HEA=^CDA )

=> \(\frac{HA}{CA}=\frac{EA}{AD}\)=> \(\frac{HA}{CA}.\frac{HB}{BC}=\frac{EA}{CA}.\frac{HB}{BC}=\frac{2.EA.HB}{2.CA.BC}=\frac{S_{\Delta AHB}}{S_{ABC}}\)(1)

+) \(\Delta CHD~\Delta CBF\)( vì ^DCH=^FCB, ^CDH=^CFB )

=> \(\frac{CH}{CB}=\frac{CD}{CF}\)=> \(\frac{CH}{CB}.\frac{AH}{AB}=\frac{CD.AH}{CF.AB}=\frac{S_{AHC}}{S_{ABC}}\)(2)

+) \(\Delta ABE~\Delta HBF\)

=> \(\frac{HB}{AB}=\frac{BF}{BE}\Rightarrow\frac{HB}{AB}.\frac{HC}{AC}=\frac{BF.HC}{BE.AC}=\frac{S_{BHC}}{S_{ABC}}\)(3)

Từ (1) ; (2) ; (3) => \(\frac{HA}{CA}.\frac{HB}{BC}+\frac{CH}{CB}.\frac{AH}{AB}+\frac{HB}{AB}.\frac{HC}{AC}=\frac{S_{ABE}}{S_{ABC}}+\frac{S_{ABE}}{S_{ABC}}+\frac{S_{ABE}}{S_{ABC}}=1\)

=> \(\frac{HA}{BC}.\frac{HB}{AC}+\frac{HB}{AC}.\frac{HC}{AB}+\frac{HC}{AB}.\frac{HA}{BC}=1\)

Đặt: \(\frac{HA}{BC}=x;\frac{HB}{AC}=y;\frac{HC}{AB}=z\); x, y, z>0

Ta có: \(xy+yz+zx=1\)

=> \(\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)=3\)

=> \(x+y+z\ge\sqrt{3}\)

"=" xảy ra khi và chỉ khi x=y=z

Vậy : \(\frac{HA}{BC}+\frac{HB}{AC}+\frac{HC}{AB}\ge\sqrt{3}\)

"=" xảy ra <=> \(\frac{HA}{BC}=\frac{HB}{AC}=\frac{HC}{AB}\)

19 tháng 10 2016

Đầu tiên ta chứng minh: \(\frac{HA}{CA}.\frac{HB}{CB}+\frac{HB}{AB}.\frac{HC}{AC}+\frac{HC}{BC}.\frac{HA}{BA}=1\)


Đặt \(\frac{HA}{CB}=x;\frac{HB}{AC}=y;\frac{HC}{AB}=z\) ta có: \(xy+yz+zx=1\)
Áp dụng bất đẳng thức Bu - nhi - a cho ba số x, y, z ta có: \(\left(xy+yz+zx\right)^2\le\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\)
Hay \(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\ge1\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge1\)
Giả sử \(\frac{HA}{BC}+\frac{HB}{CA}+\frac{HC}{AB}=x+y+z\)
\(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx>1+2=3\)
Từ đó suy ra \(x+y+x\ge\sqrt{3}\Leftrightarrow\frac{HA}{BC}+\frac{HB}{CA}+\frac{HC}{AB}\ge\sqrt{3}\).

17 tháng 10 2016

Cái này thì mình chịu thôi ! Có biết cái khỉ gió ma toi gì đâu mà giải ! Hì Hì ! ^_^ Sorry nha

24 tháng 10 2017

Ta chứng minh được những hệ thức sau :

+)\(\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R\)( định lý sin ) \(\Rightarrow2R=\dfrac{a+b+c}{\sin A+\sin B+\sin C}\)

+)\(S_{ABC}=\dfrac{\left(a+b+c\right).r}{2}\)

Now let's prove that problem:

\(VT=\dfrac{h_a^2}{bc}+\dfrac{h_b^2}{ac}+\dfrac{h_c^2}{ab}=2S_{ABC}.\dfrac{h_a+h_b+h_c}{abc}=r.\left(a+b+c\right)\dfrac{h_a+h_b+h_c}{abc}\)

\(VP=\dfrac{9r}{2R}=\dfrac{9r\left(\sin A+\sin B+\sin C\right)}{a+b+c}\)

Do đó chỉ cần chứng minh \(\left(h_a+h_b+h_c\right)\left(a+b+c\right)^2\ge9abc\left(\sin A+\sin B+\sin C\right)\)

b c a h A B C

Để ý rằng \(h_a+h_b+h_c=c.\sin B+a.\sin C+b.\sin A\)

Áp dụng BĐT chebyshev:

\(c.\sin B+a.\sin C+b.\sin A\ge\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)\left(\sin A+\sin B+\sin C\right)\)

Do đó \(VT\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^3}{3}.\left(\sum\sin A\right)\ge VF\)(đúng theo AM-GM

)

Dấu = xảy ra khi a=b=c và BĐT chebyshev này chỉ đúng khi

\(\left\{{}\begin{matrix}a\ge b\ge c\\\sin A\ge\sin B\ge\sin C\end{matrix}\right.\),điều này luôn đúng

24 tháng 10 2017

ê Quỳnh đây

ta có Pt <=> \(\sqrt{5x^2+14x+9}=5\sqrt{x+1}+\sqrt{x^2-x-20}\)

sau đó m bình phương 2 vế rồi phân tích chuyển vế để nó ra cái này

6(x+4)+4(x+1)(x-5)=\(10\sqrt{\left(x+1\right)\left(x-5\right)\left(x+4\right)}\)

đặt \(\sqrt{\left(x+1\right)\left(x-5\right)}=a;\sqrt{x+4}=b\)

ta có pt <=> \(6b^2+4a^2=10ab\)

đến đây coi như xong

20 tháng 4 2020

Câu hỏi của Minh Nguyễn Cao - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

Em tham khảo tại link trên nhé!

5 tháng 8 2016

A B C A1 B1 C1 H x y z

Đặt AA1 = a , BB1 = b , CC1 = c , HA1 = x , HB1 = y , HC1 = z (với a,b,c,x,y,z > 0)

a) Đầu tiên , ta cần chứng minh : \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\) .

Thật vậy : \(\frac{x}{a}=\frac{x.BC}{a.BC}=\frac{S_{HBC}}{S_{ABC}}\)\(\frac{y}{b}=\frac{y.AC}{b.AC}=\frac{S_{AHC}}{S_{ABC}}\)\(\frac{z}{c}=\frac{z.AB}{c.AB}=\frac{S_{ABH}}{S_{ABC}}\)

\(\Rightarrow\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=\frac{S_{HBC}+S_{HAC}+S_{HAB}}{S_{ABC}}=\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1\)

Ta có : \(\frac{AA_1}{HA_1}+\frac{BB_1}{HB_1}+\frac{CC_1}{HC_1}=\left(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\right).1=\left(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\right).\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\right)\)

\(\ge\left(1+1+1\right)^2=9\)(áp dụng bđt Bunhiacopxki)

Vậy ta có đpcm

b) Ta có : \(\frac{HA_1}{HA}+\frac{HB_1}{HB}+\frac{HC_1}{HC}=\frac{x}{a-x}+\frac{y}{b-y}+\frac{z}{c-z}=\frac{1}{\frac{a}{x}-1}+\frac{1}{\frac{b}{y}-1}+\frac{1}{\frac{c}{z}-1}\)

Áp dụng bđt \(\frac{m^2}{i}+\frac{n^2}{j}+\frac{p^2}{k}\ge\frac{\left(m+n+p\right)^2}{i+j+k}\)(bạn tự chứng minh)

Ta có : \(\frac{1^2}{\frac{a}{x}-1}+\frac{1^2}{\frac{b}{y}-1}+\frac{1^2}{\frac{c}{z}-1}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{\left(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\right)-3}\ge\frac{9}{9-3}=\frac{3}{2}\)

(Từ câu a. ta có \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\ge9\))

Vậy ta có đpcm

5 tháng 8 2016

Đúng hay sai:

\(\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{59+2}}=\frac{\sqrt{89^{x3+8}}}{\sqrt[46]{78+1}}\)

x O          v" O

2 tháng 8 2019

Câu hỏi của Phạm Trung Kiên - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Em tham khảo nhé!