Question

[ღᏠᎮღ🆃🆄ấ🅽ঔ 🅽🅰🅼ঌ❄๖ۣۜ]

1) Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả: $abc=1$. Cmr:

$\frac{ab}{a^5+b^5+ab}+\frac{bc}{b^5+c^5+bc}+\frac{ca}{c^5+a^5+ca}\le 1$

2) Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn: $a^2+b^2+c^2=1$. Tìm giả trị nhỏ nhất của:

$\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}$

3) Cho $a\ge 6$. CMR: $a^2+\frac{6}{\sqrt{a}}-\sqrt{6}\ge 36$

4) Cho $a,b,c,d$ là các số nguyên và $1\le a\le b\le c\le d\le 90$. Tìm giá trị nhỏ nhất của: $P=\frac{a}{b}+\frac{3c}{d}$

5) Cho các số thực dương $x,a,b,c$ thoả điều kiện: $x^2=a^2+b^2+c^2$.

CMR: $\frac{a}{x+2a}+\frac{b}{x+2b}+\frac{c}{2+2c}\le \frac{3}{2+\sqrt{3}}$

6) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:

$y=2+\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\Pi }{4}\right)+2\sqrt{1+\sin x+\cos x+\sin x\cos x}$, với $x\in R$

7) Cho $x>0$, $y>0$ và $x+2y<\frac{5\Pi }{4}$. CMR:

$\cos \left(x+y\right)<\frac{y\sin x}{x\sin y}$

8) Cho các số $\alpha ,\beta ,\gamma$ thoả mãn: $\alpha +\beta +\gamma =\frac{\Pi }{2}$

Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$A=\sqrt{\tan \alpha \tan \beta +1}+\sqrt{\tan \beta \tan \gamma +1}+\sqrt{\tan \gamma \tan \alpha +1}$