Question

[Nguyen Phuc Duy]

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Lấy D thuộc cạnh AC , điểm E thuộc tia đối tia HA sao cho \(\frac{AD}{AC}=\frac{HE}{HA}=\frac{1}{3}\)

Chứng minh : góc BED = 90 độ.

( Thầy mình gợi ý là dùng định lý Py-ta-go đảo )

Answer 1

[Thanh Tùng DZ]

tham khảo nhé . 

 gọi K là giao điểm của ED và BC , vẽ DM vuông góc với AH ở M. 
Ta có DM // BC ( tự cm ) => MD /CH = AD / AC = AM / AH = 1 / 3 ( do AD = 1/3 AC ) 
=> MD = CH/3 ( * ) và AM = AH/3 = EH ( do EH = AH/3 ) 
ta có AM = EH /3 => AM = MH / 2 = EH => EH = EM / 3
ta lại có HK / MD = EH / EM = 1/ 3 ( ** ) 
từ ( *) và ( ** ) ta có HK = CH / 9 . 
ta có AH^2 = BH.CH = 9 (EH^2) = BH.9HK 
=> EH^2 = BH.HK => tam giác BEK vuông ở E mà D thuộc EK nên BÊD = 90. 

Answer 2

[devid]

*Kẻ DM ⊥ AH ( M ∈ AH )
 Xét △AHC có : MD // BC 
=> AM/AH = AD/AC ( Ta-lét)
=> AM/AH=HE/AH ( = AD/AC = 1/3 )
=> AM = HE
 Ta có : AH + HE - AM = MH => AH = MH
 Xét △EMD ( góc EMD = 90 ) 
=> ME^2 + MD^2 = DE^2 ( Pytago )                             (1)
Tương tự với các : +△BHE => BE^2 = BH^2 + HE^2   (2)
                              +△ABH => BH^2 = AB^2 - AH^2
                              +△AMD => MD^2 = AD^2 - AM^2
                              +△ABD => BD^2 = AB^2 + AD^2
Cộng (1) với (2), ta đc : 
   DE^2 + BE^2 = ME^2 + MD^2 + BH^2 - HE^2
<=> DE^2 + BE^2 = AH^2 + AD^2 - AM^2 + AB^2- AH^2 + AM^2
<=> DE^2 + BE^2 = AD^2 + AB^2
=> DE^2 + BE^2 = BD^2
=> △BDE vuông tại E ( Pytago đảo )
=> góc BED = 90 -> đcpcm
( Có thể có sai sót lúc làm mong đóng góp ) =))