cho 2 số x, y thỏa mãn x2+y2=6 tìm gtnn-gtln của
P=x-\(\sqrt{5}y\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
O
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
4 tháng 1 2021
Bạn tham khảo lời giải tại đây:
cho \(x,y,z\ge0\) thỏa mãn \(x y z=6\). tìm GTLN và GTNN của biểu thức \(A=x^2 y^2 z^2\) - Hoc24
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
31 tháng 3 2021
\(x+y=\sqrt{x+6}+\sqrt{y+6}\ge0\Rightarrow x+y\ge0\)
\(x+y=\sqrt{x+6}+\sqrt{y+6}\le\sqrt{2\left(x+y+12\right)}\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\le2\left(x+y+12\right)\)
\(\Rightarrow\left(x+y+4\right)\left(x+y-6\right)\le0\)
\(\Rightarrow x+y\le6\) (do \(x+y+4>0\))
\(P_{max}=6\) khi \(x=y=3\)
\(x+y=\sqrt{x+6}+\sqrt{y+6}\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2=x+y+12+2\sqrt{\left(x+6\right)\left(y+6\right)}\ge x+y+12\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)-12\ge0\)
\(\Rightarrow\left(x+y+3\right)\left(x+y-4\right)\ge0\)
\(\Rightarrow x+y-4\ge0\) (do \(x+y+3>0\))
\(\Rightarrow x+y\ge4\)
\(P_{min}=4\) khi \(\left(x;y\right)=\left(-6;10\right)\) và hoán vị
30 tháng 3 2021
Ta có: x - \(\sqrt{x+6}\) = \(\sqrt{y+6}\) - y (x; y \(\ge\) -6)
\(\Leftrightarrow\) P = x + y = \(\sqrt{x+6}+\sqrt{y+6}\)
\(\Leftrightarrow\) P2 = x + y + 12 + 2\(\sqrt{\left(x+6\right)\left(y+6\right)}\)
Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số ko âm x + 6 và y + 6 ta có:
\(x+y+12\ge2\sqrt{\left(x+6\right)\left(y+6\right)}\)
\(\Leftrightarrow\) P2 \(\le\) x + y + 12 + x + y + 12 = 2x + 2y + 24 = 2P + 24
\(\Leftrightarrow\) P2 - 2P - 24 \(\le\) 0
\(\Leftrightarrow\) P2 - 36 + 12 - 2P \(\le\) 0
\(\Leftrightarrow\) (P - 6)(P + 6) + 2(6 - P) \(\le\) 0
\(\Leftrightarrow\) (P - 6)(P + 4) \(\le\) 0
\(\Leftrightarrow\) \(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}P-6\ge0\\P+4\le0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}P-6\le0\\P+4\ge0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left[{}\begin{matrix}-4\ge P\ge6\left(KTM\right)\\6\ge P\ge-4\left(TM\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\) -4 \(\le\) P \(\le\) 6
Vậy ...
Chúc bn học tốt!
30 tháng 4 2023
Ta có \(x^2+y^2=1\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=2xy+1\)
Từ đó \(P=\dfrac{\left(x+y\right)^2}{x+y+1}\). Đặt \(x+y=t\left(t\ge0\right)\). Vì \(x+y\le\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}=2\) nên \(t\le\sqrt{2}\). ĐTXR \(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\). Ta cần tìm GTLN của \(P\left(t\right)=\dfrac{t^2}{t+1}\) với \(0\le t\le\sqrt{2}\).
Giả sử có \(0\le t_1\le t_2\le\sqrt{2}\). Ta có BDT luôn đúng \(\left(t_2-t_1\right)\left(t_2+t_1+t_2t_1\right)\ge0\) \(\Leftrightarrow t_2^2-t_1^2+t_2^2t_1-t_2t_1^2\ge0\) \(\Leftrightarrow t_1^2\left(t_2+1\right)\le t_2^2\left(t_1+1\right)\) \(\Leftrightarrow\dfrac{t_1^2}{t_1+1}\le\dfrac{t_2^2}{t_2+1}\) \(\Leftrightarrow P\left(t_1\right)\le P\left(t_2\right)\). Như vậy với \(0\le t_1\le t_2\le\sqrt{2}\) thì \(P\left(t_1\right)\le P\left(t_2\right)\). Do đó P là hàm đồng biến. Vậy GTLN của P đạt được khi \(t=\sqrt{2}\) hay \(x=y=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\), khi đó \(P=2\sqrt{2}-2\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 4 2023
Lời giải:
$P=\frac{2xy+1}{x+y+1}=\frac{2xy+x^2+y^2}{x+y+1}=\frac{(x+y)^2}{x+y+1}$
$=\frac{a^2}{a+1}$ với $x+y=a$
Áp dụng BĐT AM-GM:
$1=x^2+y^2\geq \frac{(x+y)^2}{2}=\frac{a^2}{2}$
$\Rightarrow a^2\leq 2\Rightarrow a\leq \sqrt{2}$
$P=\frac{a^2}{a+1}=\frac{a}{1+\frac{1}{a}}$
Vì $a\leq \sqrt{2}\Rightarrow 1+\frac{1}{a}\geq 1+\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{2+\sqrt{2}}{2}$
$\Rightarrow P\leq \frac{\sqrt{2}}{\frac{2+\sqrt{2}}{2}}=-2+2\sqrt{2}$
Vậy $P_{\max}=-2+2\sqrt{2}$ khi $x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}$
TM
1
ai giải = cách tam thức bậc 2 càng tốt nha mình k mạnh cho