Cho a+b+c=2017 (a,b,c>0). Tìm Max A= \(\frac{ab}{\sqrt{2017c+ab}}+\frac{bc}{\sqrt{2017a+bc}}+\frac{ca}{\sqrt{2017b+ca}}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
LD
25 tháng 10 2019
Có vài cách giải nhưng mình thấy cách này nhanh và đẹp ne.
\(\sqrt{2017a+bc}=\sqrt{\left(a+b+c\right)a+bc}=\sqrt{a^2+ab+bc+ca}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}\le\sqrt{ac}+\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a+\sqrt{2017a+bc}}\le\frac{a}{a+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)
Tương tự rồi cộng lại, ta được:
\(P\le\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}=1\)
Dấu "=" khi \(a=b=c=\frac{2017}{3}\)
20 tháng 5 2019
Ta có \(\sqrt{\frac{ab}{c+ab}}=\sqrt{\frac{ab}{c\left(a+b+c\right)+ab}}=\sqrt{\frac{ab}{\left(c+b\right)\left(c+a\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{c+a}+\frac{b}{a+b}\right)\)
Khi đó \(P\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a+b}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+c}+\frac{c}{a+c}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{b}{b+c}+\frac{c}{b+c}\right)=\frac{3}{2}\)
\(MaxP=\frac{3}{2}\)khi a=b=c=1/3
PN
9 tháng 7 2020
Ta có \(c+ab=\left(a+b+c\right)c+ab=ab+bc+c^2-ab=\left(a+c\right)\left(b+c\right)\)
Tương tự có \(a+bc=\left(b+a\right)\left(c+a\right)\)
\(b+ca=\left(b+c\right)\left(a+b\right)\)
Khi đó : \(P=\sqrt{\frac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}+\sqrt{\frac{bc}{\left(b+a\right)\left(c+a\right)}}+\sqrt{\frac{ca}{\left(c+b\right)\left(a+b\right)}}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có
\(\sqrt{\frac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}\right)\)
\(\sqrt{\frac{bc}{\left(b+a\right)\left(c+a\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+a}\right)\)
\(\sqrt{\frac{ca}{\left(c+b\right)\left(a+b\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{c}{c+b}+\frac{a}{a+b}\right)\)
Cộng theo vế các bất đẳng thức cùng chiều
\(P\le\frac{1}{2}\left(\frac{a+c}{a+c}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{b+a}{b+a}\right)=\frac{3}{2}\)
Vậy \(Max_P=\frac{3}{2}\)khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
15 tháng 5 2018
Ta có: \(P=\frac{ab}{\sqrt{ab+2c}}+\frac{bc}{\sqrt{bc+2a}}+\frac{ca}{\sqrt{ca+2b}}\)
\(P=\frac{ab}{\sqrt{ab+\left(a+b+c\right)c}}+\frac{bc}{\sqrt{bc+\left(a+b+c\right)a}}+\frac{ca}{\sqrt{ca+\left(a+b+c\right)b}}\)
\(P=\frac{ab}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}+\frac{bc}{\sqrt{\left(b+a\right)\left(c+a\right)}}+\frac{ca}{\sqrt{\left(c+b\right)\left(a+b\right)}}\)
\(P=\sqrt{\frac{ab}{\left(a+c\right)}.\frac{ab}{\left(b+c\right)}}+\sqrt{\frac{bc}{b+a}.\frac{bc}{c+a}}+\sqrt{\frac{ca}{c+b}.\frac{ca}{a+b}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}+\frac{bc}{b+a}+\frac{bc}{c+a}+\frac{ca}{c+b}+\frac{ca}{a+b}\right)=\frac{\left(a+b+c\right)}{2}=1\)
Vậy Max P=1 khi \(a=b=c=\frac{2}{3}\)
RR
15 tháng 5 2018
\(P=\Sigma\dfrac{ab}{\sqrt{ab+2c}}=\Sigma\dfrac{ab}{\sqrt{ab+\left(a+b+c\right)c}}=\Sigma\dfrac{\sqrt{ab}.\sqrt{ab}}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\le\dfrac{1}{2}.\Sigma\left(\dfrac{ab}{a+c}+\dfrac{ab}{b+c}\right)\) \(=\dfrac{1}{2}.\left(a+b+c\right)=1\)
15 tháng 4 2023
+) Bài bất đẳng thức:
\(\dfrac{2017a-a^2}{bc}=\dfrac{\left(a+b+c\right)a-a^2}{bc}=\dfrac{ab+ca}{bc}=\dfrac{a}{c}+\dfrac{a}{b}\left(1\right)\)
Tương tự: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2017b-b^2}{ca}=\dfrac{b}{a}+\dfrac{b}{c}\left(2\right)\\\dfrac{2017c-c^2}{ab}=\dfrac{c}{a}+\dfrac{c}{b}\left(3\right)\end{matrix}\right.\)
\(\left(1\right)+\left(2\right)+\left(3\right)\Rightarrow\dfrac{2017a-a^2}{bc}+\dfrac{2017b-b^2}{bc}+\dfrac{2017c-c^2}{ab}=\dfrac{a+b}{c}+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}\)
\(\sqrt{2}\left(\sum\sqrt{\dfrac{2017-a}{a}}\right)=\sqrt{2}\left(\sum\sqrt{\dfrac{\left(a+b+c\right)-a}{a}}\right)=\sqrt{2}\left(\sqrt{\dfrac{b+c}{a}}+\sqrt{\dfrac{c+a}{b}}+\sqrt{\dfrac{a+b}{2}}\right)\)
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
\(\dfrac{a+b}{c}+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}\ge\sqrt{2}\left(\sqrt{\dfrac{a+b}{c}}+\sqrt{\dfrac{b+c}{a}}+\sqrt{\dfrac{c+a}{b}}\right)\)
*Có: \(\sqrt{2.\dfrac{a+b}{c}}+\sqrt{2.\dfrac{b+c}{a}}+\sqrt{2.\dfrac{c+a}{b}}\le\dfrac{2+\dfrac{a+b}{c}}{2}+\dfrac{2+\dfrac{b+c}{a}}{2}+\dfrac{2+\dfrac{c+a}{b}}{2}=3+\dfrac{\dfrac{a+b}{c}+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}}{2}\)
Ta chỉ cần chứng minh:
\(\dfrac{a+b}{c}+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}\ge3+\dfrac{\dfrac{a+b}{c}+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}}{2}\)
hay \(\dfrac{a+b}{c}+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}\ge6\) (cái này chị tự chứng minh nhé)
C
Cho a+b+c=1. Tìm GTLN của
\(A=\sqrt{\frac{ab}{c+ab}}+\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}+\sqrt{\frac{ca}{b+ca}}\)
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 2 2021
Cần thêm điều kiện a;b;c dương
\(\sqrt{\dfrac{ab}{c+ab}}=\sqrt{\dfrac{ab}{c\left(a+b+c\right)+ab}}=\sqrt{\dfrac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{b}{b+c}\right)\)
Tương tự: \(\sqrt{\dfrac{bc}{a+bc}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{c}{a+c}\right)\) ; \(\sqrt{\dfrac{ca}{b+ac}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{a}{a+b}\right)\)
Cộng vế với vế:
\(A\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{c}{a+c}\right)=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
Ta có:
\(\frac{ab}{\sqrt{2017c+ab}}=\frac{ab}{\sqrt{\left(a+b+c\right)c+ab}}\)
\(=\frac{ab}{\sqrt{a\left(b+c\right)+c\left(b+c\right)}}=\frac{ab}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\)
Áp dụng BĐT AM-GM (cô si): \(ab.\frac{1}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\le\frac{ab}{2}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)=\frac{ab}{2\left(a+c\right)}+\frac{ab}{2\left(b+c\right)}\)
Tương tự với hai BĐT còn lại và cộng theo vế,ta được:
\(A\le\frac{ab}{2\left(a+c\right)}+\frac{ab}{2\left(b+c\right)}+\frac{bc}{2\left(a+b\right)}+\frac{bc}{2\left(a+c\right)}+\frac{ca}{2\left(b+c\right)}+\frac{ca}{2\left(a+b\right)}\)
Thu gọn lại bằng cách cộng những phân thức cùng mẫu và rút gọn phân thức,ta được:
\(A\le\frac{a+b+c}{2}=\frac{2017}{2}\).
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{2017}{3}\)
Vậy...