Các góc của tam giác ABC thỏa mãn hệ thức, \(\frac{sinB+sinC}{sinA}=\frac{sin2B+sin2C}{sin2A}\)
Chứng minh rằng cosB+cosC=1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
VN
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
5 tháng 7 2019
Lời giải:
Áp dụng 1 số công thức lượng giác:
\(\sin A=\frac{\sin B+\sin C}{\cos B+\cos C}=\frac{2\sin (\frac{B+C}{2})\cos (\frac{B-C}{2})}{2\cos (\frac{B+C}{2})\cos (\frac{B-C}{2})}=\frac{\sin \frac{B+C}{2}}{\cos \frac{B+C}{2}}\)
\(=\tan \frac{B+C}{2}=\tan (\frac{\pi-A}{2})=\cot \frac{A}{2}\)
\(\Leftrightarrow 2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2}=\frac{\cos \frac{A}{2}}{\sin \frac{A}{2}}\) (trong tam giác, \(\widehat{A}\neq 0\rightarrow \sin \frac{A}{2}\neq 0)\)
\(\Leftrightarrow \cos \frac{A}{2}(2\sin^2 \frac{A}{2}-1)=0\)
\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} \cos \frac{A}{2}=0\rightarrow \frac{\widehat{A}}{2}=\frac{\pi}{2}\rightarrow \widehat{A}=\pi (\text{vô lý})\\ \sin \frac{A}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\rightarrow \frac{\widehat{A}}{2}=\frac{\pi}{4}\rightarrow \widehat{A}=\frac{1}{2}\pi=90^0 \end{matrix}\right.\)
Do đó tam giác ABC vuông tại A
VN
2
NM
27 tháng 4 2021
TL:
sinA+sinB+sinC=1-cosA+cosB+cosC => Tam giác ABC Vuông tại A
NM
27 tháng 4 2021
Vế trái = sinA + sinB + sinC
= 2sin(A + B)/2.cos(A - B)/2 + 2sinC/2.cosC/2
= 2cosC/2.cos(A - B)/2 + 2sinC/2.cosC/2
= 2cosC/2[cos(A - B)/2 + sinC/2]
=2.cosC/2.[cos(A - B)/2 + cos(A + B)/2]
= 4.cosC/2.cosB/2.cosA/2
Vế phải = 1 - cosA + cosB + cosC
= 2sin²A/2 + 2cos(B + C)/2.cos(B - C)/2
= 2.sinA/2[sinA/2 + cos(B - C)/2] (vì cos(B + C)/2 = sinA/2)
= 2.sinA/2[cos(B + C)/2 + cos(B - C)/2
= 4.sinA/2.cosB/2.cosC/2
Vậy sinA + sinB + sinC = 1 - cosA + cosB + cosC
<=> cosA/2.cosB/2.cosC/2 = sinA/2.cosB/2.cosC/2
<=> cosB/2.cosC/2(sinA/2 - cosA/2) = 0
mà cosB/2 ≠ 0 và cosC/2 ≠ 0
=> sinA/2 = cosA/2
<=> A/2 = 45o
<=> A = 90o
tam giác ABC vuông tại A
