Question

[Soái Tỷ😎😎😎]

cho tam giác ABC vuông góc ở C góc A=60 độ.tia phân giác của góc A cắt BC ở E.kẻ EK vuông góc với AB (K thuộc AB).kẻ BD vuông góc với AE (D thuộc AE).chứng minh:

a, AC=AK và AE vuông góc với CK

b,KA=KB

c,EB>AC

d,ba đường thẳng AC,BD,KE cùng đi qua 1 điểm

Answer 1

[Tẫn]

a, AC = AK. AE ⊥ CK.

Xét hai tam giác vuông ACE và AKE có:

AE : chung

^CAE = ^KAE (AE là phân giác)

Do đó: ΔACE = ΔAKE (cạnh huyền - góc nhọn)

=> AC = AK (hai cạnh tương ứng) 

=> ΔACK cân tại A

=> ^ACK = ^AKC (hai góc ở đáy)

Gọi giao của AE và CK là I

Xét ΔCAI và ΔKAI có: ^CAI + ^AIC + ^ACI = ^KAI + ^KIA + ^AKI (= 180^o)

Mà : ^CAI = ^KAI (AE là phân giác) , ^ACK = ^AKC (cmt) 

=> ^AIC = ^AIK  Mà ^AIC + ^AIK = 180^o (kề bù)

=> ^AIC = ^AIK = 180^o : 2 = 90 

Hay AE ⊥ CK

b, KA = KB

Ta có: ^CAI = ^KAI = ^CAB/2 = 60^o/2 = 30^o (AE là phân giác)

Xét ΔABC vuông tại C có: ^BAC + ^ABC = 90^o (phụ nhau) => ^ABC = 90^o - ^BAC = 90^o - 60^o = 30^o.

Xét ΔAKE vuông tại K có: ^EAK + ^AEK = 90^o (phụ nhau)=> ^AEK = 90^o  - ^EAK = 90^o - 30^o = 60^o.

Xét ΔKEB vuông tại K có: ^KEB + ^ABC = 90^o (phụ nhau) => ^KEB = 90^o - ^ABC = 90^o - 30^o = 60^o.

Xét hai tam giác vuông KEA và KEB có:

KE : chung

^KEA = ^KEB (=60^o)

Do đó: ΔKEA = ΔKEB (cgv-gnk)

=> KA = KB (hai cạnh tương ứng)

c) EB > AC

Vì  ΔKEA = ΔKEB (câu b)

=> AE = EB (hai cạnh tương ứng)   (1)

Xét ΔAEC vuông tại C có: AE > AC (định lí)    (2)

Từ (1) và (2) suy ra: EB > AC

d) AC, BD, KE đồng quy.

Gọi giao điểm của AC và BD là G.

Xét ΔABG có: AD ⊥ BG và  BC ⊥ AG 

Mà chúng cắt nhau tại E => E là trực tâm 

Nên G, E, K thẳng hàng 

Vậy AC, BD, KE cùng đi qua một điểm (đồng quy)

P/s: tự vẽ hình, không hiểu chỗ nào = inbox hỏi.