Cho các số a,b,c đều lớn hơn 25/4. Tìm GTNN của biểu thức \(Q=\frac{a}{2\sqrt{b}-5}+\frac{b}{2\sqrt{c}-5}+\frac{c}{2\sqrt{a}-5}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
16 tháng 11 2015
\(Q=\frac{a}{2\sqrt{b}-5}+\frac{b}{2\sqrt{c}-5}+\frac{c}{2\sqrt{a}-5}\ge3\sqrt[3]{\frac{abc}{\left(2\sqrt{b}-5\right)\left(2\sqrt{c}-5\right)\left(2\sqrt{a}-5\right)}}=3\sqrt[3]{\frac{1}{\left(\frac{2}{\sqrt{b}}-\frac{5}{b}\right)\left(\frac{2}{\sqrt{c}}-\frac{5}{c}\right)\left(\frac{2}{\sqrt{a}}-\frac{5}{a}\right)}}\)
xét \(\left(\frac{2}{\sqrt{a}}-\frac{5}{a}\right)=-\left(\left(\sqrt{\frac{5}{a}}\right)^2-2.\sqrt{\frac{5}{a}}.\frac{1}{\sqrt{5}}+\frac{1}{5}\right)+\frac{1}{5}=-\left(\sqrt{\frac{5}{a}}-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2+\frac{1}{5}\le\frac{1}{5}\)
\(\Rightarrow Q\ge3.\sqrt[3]{\frac{1}{\frac{1}{5}.\frac{1}{5}.\frac{1}{5}}}=3.5=15\)
\(Q_{Min}=15\Leftrightarrow a=b=c=25\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
1 tháng 3 2022
\(\sqrt{a^2+\dfrac{1}{b+c}}=\dfrac{2}{\sqrt{17}}\sqrt{\left(4+\dfrac{1}{4}\right)\left(a^2+\dfrac{1}{b+c}\right)}\ge\dfrac{2}{\sqrt{17}}\left(2a+\dfrac{1}{2\sqrt{b+c}}\right)\)
\(\Rightarrow A\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(4a+4b+4c+\dfrac{1}{\sqrt{a+b}}+\dfrac{1}{\sqrt{b+c}}+\dfrac{1}{\sqrt{c+a}}\right)\)
\(\Rightarrow A\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(4a+4b+4c+\dfrac{9}{\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}}\right)\)
Mặt khác:
\(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\le\sqrt{3\left(a+b+b+c+c+a\right)}=\sqrt{6\left(a+b+c\right)}\)
\(\Rightarrow A\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(4a+4b+4c+\dfrac{9}{\sqrt{6\left(a+b+c\right)}}\right)\)
\(\Rightarrow A\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(\dfrac{31}{8}\left(a+b+c\right)+\dfrac{a+b+c}{8}+\dfrac{9}{2\sqrt{6\left(a+b+c\right)}}+\dfrac{9}{2\sqrt{6\left(a+b+c\right)}}\right)\)
\(\Rightarrow A\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(\dfrac{31}{8}.6+3\sqrt[3]{\dfrac{81\left(a+b+c\right)}{32.6.\left(a+b+c\right)}}\right)=\dfrac{3\sqrt{17}}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=2\)
HH
24 tháng 1 2021
- Áp dụng bđt cộng mẫu
Cho \(x_1;x_2;x_3\in R \)
\(\hept{\begin{cases}\frac{x_1^2}{y_1}+\frac{x_2^2}{y_2}\ge\frac{\left(x_1+x_2\right)^2}{y_1+y_2}\left(1\right)\\\frac{x_1^2}{y_1}+\frac{x_2^2}{y_2}\ge\frac{\left(x_1+x_2+x_3\right)^2}{\left(y_1+y_2+y_3\right)}\left(2\right)\end{cases}}\)
và \(y_1;y_2;y_3\in R\)
CM : +) \(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(y_1+y_2\right)\left(\frac{x_1^2}{y_1}+\frac{x_2^2}{y_2}\right)\ge\left(x_1+x_2\right)^2\)
\(\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2+\frac{y_2}{y_1}x_1^2+\frac{y_1}{y_2}x_2^2\ge x_1^2+x_2^2+2x_1x_2\)
\(\Leftrightarrow\frac{y_2}{y_1}x_1^2+\frac{y_1}{y_2}x_2^2\ge2x_1x_2\)( đúng do Cauchy )
+) Để CM (2) , ta áp dụng liên tiếp 2 lần (1)
(1) (2)
\(VT\left(2\right)\ge\frac{\left(x_1+x_1\right)^2}{y_1+y_2}+\frac{x_3^2}{y_3}\ge\frac{\left(x_1+x_2+x_3\right)^2}{y_1+y_2+y_3}\)
+) Với cách này ra có thể cm bđt " cộng mẫu " tổng quát sau :
\(\frac{x_1^2}{y_1}+......+\frac{x_1^2}{y_2}\ge\frac{\left(x_1+........+x_n\right)^2}{y_1+...........+y_n}\)
- Áp dụng bđt cộng mẫu , ta có :
\(P=\frac{\sqrt{a}^2}{2\sqrt{b}-5}+\frac{\sqrt{b}^2}{2\sqrt{c}-5}+\frac{\sqrt{c}^2}{2\sqrt{a}-5}\ge\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)-15}\ge\frac{S^2}{2S-15}\)
( Trong đó \(S=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}>3\frac{5}{2}=\frac{15}{2}\))
- Đặt U = 2S - 15
+) u > 0
+) \(S=\frac{u+15}{2}\)
\(P\ge\frac{1}{4}.\frac{\left(u+15\right)^2}{u}=\frac{1}{4}\left(u+\frac{15^2}{u}+30\right)\)
\(\ge\frac{1}{4}\left(2\sqrt{u.\frac{15^2}{u}}+30\right)\left(Cauchy\right)\)
\(\ge15\)
24 tháng 1 2021
Ta có: \(a,b,c>\frac{25}{4}\Rightarrow2\sqrt{a}-5>0,2\sqrt{b}-5>0,2\sqrt{c}-5>0\)
Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương ta có:
\(\frac{a}{2\sqrt{b}-5}+2\sqrt{b}-5\ge2\sqrt{a}\) (1)
\(\frac{b}{2\sqrt{c}-5}+2\sqrt{c}-5\ge2\sqrt{b}\) (2)
\(\frac{a}{2\sqrt{a}-5}+2\sqrt{a}-5\ge2\sqrt{c}\) (3)
Cộng vế theo vế của (1), (2), (3) ta có: \(Q\ge5.3=15\)
Dấu '=' xảy ra <=> a=b=c=25 ( TMĐK)
Vậy Min Q =15 <=> a=b=c=25
19 tháng 11 2019
\(\sqrt{2a^2+ab+2b^2}=\sqrt{\frac{5}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2}\ge\frac{5}{4}\left(a+b\right)\)
Tương tự cộng vế theo vế thì
\(M\ge\frac{5}{4}\left(2a+2b+2c\right)=\frac{5}{2}\left(a+b+c\right)=\frac{5}{2}\cdot2019\)
Dấu "=" xảy ra tại \(a=b=c=\frac{2019}{3}\)
bài 4 có trên mạng nha chị.tí e làm cách khác
bài 5 chị tham khảo bđt min cop ski r dùng svác là ra ạ.giờ e coi đá bóng,coi xong nghĩ tiếp ạ.
em chịu thôi
ahihi
k e nha
hahahha
đây bài thi lên lớp 10 đó e
chị đag làm hihi