cho hai số thực dương x,y thỏa mãn điều kiện x+y+1=3xy
Tìm GTLN của biểu thức sau P=\(\dfrac{1}{x\left(y+1\right)}+\dfrac{1}{y\left(x+1\right)}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
28 tháng 5 2022
Lời giải:
Sửa: $x^2\geq y^2+z^2$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
$P\geq \frac{y^2+z^2}{x^2}+\frac{7x^2}{2}.\frac{4}{y^2+z^2}+2007$
$=\frac{y^2+z^2}{x^2}+\frac{14x^2}{y^2+z^2}+2007$
$=\frac{y^2+z^2}{x^2}+\frac{x^2}{y^2+z^2}+\frac{13x^2}{y^2+z^2}+2007$
$\geq 2+\frac{13x^2}{y^2+z^2}+2007$ (áp dụng BĐT Cô-si)
$\geq 2+13+2007=2022$ (do $x^2\geq y^2+z^2$)
Vậy $P_{\min}=2022$
11 tháng 5 2023
Gợi ý: \(\dfrac{a^4+b^4}{2}\ge\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^4\)
LS
Lê Song Phương
CTVHS
11 tháng 5 2023
Ta có \(a^4+b^4\ge\dfrac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\ge\dfrac{\left(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\right)^2}{2}=\dfrac{\left(a+b\right)^4}{8}\). Áp dụng cho biểu thức A, suy ra \(A\ge\dfrac{\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}+y^2+\dfrac{1}{y^2}+2\right)^4}{8}\). Ta tìm GTNN của \(P=x^2+\dfrac{1}{x^2}+y^2+\dfrac{1}{y^2}+2\). Ta có
\(P=x^2+\dfrac{1}{16x^2}+y^2+\dfrac{1}{16y^2}+\dfrac{15}{16}\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)+2\)
\(P\ge2\sqrt{x^2.\dfrac{1}{16x^2}}+2\sqrt{y^2.\dfrac{1}{16y^2}}+\dfrac{15}{16}\left(\dfrac{\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2}{2}\right)+2\)
\(=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{15}{16}.\left(\dfrac{4^2}{2}\right)+2\) \(=\dfrac{21}{2}\). Do đó \(P\ge\dfrac{21}{2}\) \(\Leftrightarrow A\ge\dfrac{\left(\dfrac{17}{2}+2\right)^4}{8}\). Vậy GTNN của A là \(\dfrac{\left(\dfrac{17}{2}+2\right)^4}{8}\), ĐTXR \(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}\)
NV
18 tháng 3 2023
\(A=\dfrac{2\left(x^3+y^3\right)}{\left(x^4+y^2\right)\left(x^2+y^4\right)}=2.\dfrac{\left(x^3+y^3\right)}{x^4y^4+x^2y^2+x^6+y^6}\)
\(=2.\dfrac{\left(x^3+y^3\right)}{1+1+x^6+y^6}=2.\dfrac{x^3+y^3}{x^6+y^6+2x^3y^3}=2.\dfrac{x^3+y^3}{\left(x^3+y^3\right)^2}=\dfrac{2}{x^3+y^3}\left(1\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
\(x^3+y^3+1\ge3\sqrt{xy.1}=3\)
\(\Rightarrow x^3+y^3\ge2\Rightarrow\dfrac{2}{x^3+y^3}\le1\left(2\right)\)
\(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow A\le1\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=1.
Vậy MaxA là 1, đạt được khi x=y=1.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
14 tháng 2 2022
Hướng dẫn: đặt \(A=\dfrac{y^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\dfrac{z^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\dfrac{x^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\)
Khi đó \(F-A=x-y+y-z+z-x=0\Rightarrow F=A\)
\(\Rightarrow2F=F+A=\sum\dfrac{x^4+y^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}\ge\sum\dfrac{\left(x^2+y^2\right)^2}{2\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}\ge\sum\dfrac{\left(x+y\right)^2\left(x^2+y^2\right)}{4\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}\)
\(\Rightarrow2F\ge\dfrac{x+y+z}{2}\Rightarrow F\ge\dfrac{x+y+z}{4}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
7 tháng 5 2021
\(4\le\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{y}+1\right)\le\dfrac{1}{4}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+2\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}+2\ge4\)
\(\Rightarrow2\le\sqrt{x}+\sqrt{y}\le\sqrt{2\left(x+y\right)}\Rightarrow x+y\ge2\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{x+y}=x+y\ge2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)
7 tháng 5 2021
Dạ có thể diễn đạt theo cách dễ hiểu cho đứa ngu lâu dốt bền như em được không ạ ? ._.
S
31 tháng 3 2017
Đặt \(\dfrac{1}{x}=a;\dfrac{1}{y}=b\Rightarrow a+b+ab=3\)
Ta có: \(3-a+b+ab\ge ab+2\sqrt{ab}\ge3.\sqrt[3]{a^2b^2}\Leftrightarrow ab\le1\)
Suy ra \(M=\dfrac{ab}{a+1}+\dfrac{ab}{b+1}=ab.\left(\dfrac{a+1+b+1}{ab+a+b+1}\right)=ab.\dfrac{5-ab}{4}\)
\(=\dfrac{-\left[\left(ab\right)^2-2ab+1\right]+3a+1}{4}=\dfrac{-\left(ab-1\right)^2+3ab+1}{4}\le1\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=1\)
HN
27 tháng 3 2017
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}=a\\\dfrac{1}{y}=b\end{matrix}\right.\) thì bài toán trở thành
Cho \(a+b+ab=3\)
Tìm GTLN của: \(M=\dfrac{3b}{a+1}+\dfrac{3a}{b+1}-a^2-b^2=\dfrac{ab}{a+1}+\dfrac{ab}{b+1}\)
Ta có: \(3=a+b+ab\ge3\sqrt[3]{a^2b^2}\)
\(\Leftrightarrow ab\le1\)
Ta lại có: \(M=\dfrac{ab}{a+1}+\dfrac{ab}{b+1}=ab.\dfrac{a+1+b+1}{ab+a+b+1}=ab.\dfrac{5-ab}{4}\)
\(=\dfrac{5ab-a^2b^2}{4}=\dfrac{\left(-a^2b^2+2ab-1\right)+3ab+1}{4}=\dfrac{-\left(ab-1\right)^2+3ab+1}{4}\le\dfrac{3+1}{4}=1\)
Vậy GTLN là \(M=1\) khi \(a=b=1\) hay \(x=y=1\)
ND
Nguyễn Đức Trí
VIP
20 tháng 8 2023
Áp dụng BĐT Cauchy cho cặp số dương \(\dfrac{1}{\left(z+x\right)};\dfrac{1}{\left(z+y\right)}\)
\(\dfrac{1}{\left(z+x\right)}+\dfrac{1}{\left(z+y\right)}\ge\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{\sqrt[]{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\)
\(\Rightarrow\dfrac{xy}{\sqrt[]{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\le\dfrac{2xy}{z+x}+\dfrac{2xy}{z+y}\left(1\right)\)
Tương tự ta được
\(\dfrac{zx}{\sqrt[]{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}}\le\dfrac{2zx}{y+z}+\dfrac{2zx}{y+x}\left(2\right)\)
\(\dfrac{yz}{\sqrt[]{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\le\dfrac{2yz}{x+y}+\dfrac{2yz}{x+z}\left(3\right)\)
\(\left(1\right)+\left(2\right)+\left(3\right)\) ta được :
\(P=\dfrac{yz}{\sqrt[]{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+\dfrac{zx}{\sqrt[]{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}}+\dfrac{xy}{\sqrt[]{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\le\dfrac{2yz}{x+y}+\dfrac{2yz}{x+z}+\dfrac{2zx}{y+z}+\dfrac{2zx}{y+x}+\dfrac{2xy}{z+x}+\dfrac{2xy}{z+y}\)
\(\Rightarrow P\le2\left(x+y+z\right)=2.3=6\)
\(\Rightarrow GTLN\left(P\right)=6\left(tạix=y=z=1\right)\)
Ta có: \(x+y\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow3xy\ge2\sqrt{xy}+1\Rightarrow3xy-2\sqrt{xy}-1\ge0\)
\(\Rightarrow\left(3\sqrt{xy}+1\right)\left(\sqrt{xy}-1\right)\ge0\Rightarrow\sqrt{xy}-1\ge0\) (do \(3\sqrt{xy}+1>0\) )
\(\Rightarrow\sqrt{xy}\ge1\Rightarrow xy\ge1\Rightarrow1-xy\le0\)
\(P=\dfrac{y\left(x+1\right)+x\left(y+1\right)}{xy\left(x+1\right)\left(y+1\right)}=\dfrac{2xy+x+y}{xy\left(xy+x+y+1\right)}\)
\(\Rightarrow P=\dfrac{2xy+3xy-1}{xy\left(xy+3xy\right)}=\dfrac{5xy-1}{4\left(xy\right)^2}=\dfrac{-4\left(xy\right)^2+5xy-1}{4\left(xy\right)^2}+1\)
\(\Rightarrow P=\dfrac{\left(1-xy\right)\left(4xy+1\right)}{4\left(xy\right)^2}+1\)
Do \(\left\{{}\begin{matrix}1-xy\le0\\4xy+1>0\\4\left(xy\right)^2>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\dfrac{\left(1-xy\right)\left(4xy+1\right)}{4\left(xy\right)^2}\le0\)
\(\Rightarrow P\le0+1=1\Rightarrow P_{max}=1\) khi \(x=y=1\)