Question

[Teendau]

Cho ab+bc+ca=11.Tìm GTNN của P=\(\frac{5a+5b+2c}{\sqrt{12\left(a^2+11\right)}+\sqrt{12\left(b^2+11\right)}+\sqrt{c^2+11}}\)

Answer 1

[Kiệt Nguyễn]

\(P=\frac{5a+5b+2c}{\sqrt{12\left(a^2+11\right)}+\sqrt{12\left(b^2+11\right)}+\sqrt{c^2+11}}\)

\(=\frac{5a+5b+2c}{2\sqrt{3\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+2\sqrt{3\left(b+a\right)\left(b+c\right)}+\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\)(Gọi A là mẫu của phân thức) (*)

Áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho hai số không âm, ta có:

\(2\sqrt{3\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\le3\left(a+b\right)+\left(a+c\right)=4a+3b+c\)(1)

Tương tự ta có: \(2\sqrt{3\left(b+a\right)\left(b+c\right)}\le4b+3a+c\)(2)

\(\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}\le\frac{1}{2}\left(a+b+2c\right)\)(3)

Cộng từng vế của (1); (2); (3), ta có:

\(A\le\frac{15}{2}a+\frac{15}{2}b+3c\)(**)

Từ (*) và (**) suy ra \(P\ge\frac{5c+5b+2c}{\frac{15}{2}a+\frac{15}{2}b+3c}=\frac{2}{3}\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = 1; c = 5

Answer 2

[IS]

Dễ thấy \(a^2+11=a^2+ab+cb+ca=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\)do đó ta đc

\(\sqrt{12\left(a^2+11\right)}=2\sqrt{3\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\le3\left(a+b\right)\left(a+c\right)=4a+3b+c\)

tương tự nha

\(\sqrt{12\left(b^2+11\right)}=2\sqrt{3\left(a+b\right)\left(b+c\right)}\le3\left(a+b\right)\left(b+c\right)=3a+4b+c\)

\(\sqrt{c^2+11}=\sqrt{\left(c+a\right)\left(b+c\right)}\le\frac{c+a+b+c}{2}=\frac{a+b+2c}{2}\)

khi đó ta đc

\(\sqrt{12\left(a^2+11\right)}+\sqrt{12\left(b^2+11\right)}+\sqrt{c^2+11}\le\frac{15a}{2}+\frac{15b}{2}+3c\)

suy ra \(P\ge\frac{5a+5b+2c}{\frac{15a}{2}+\frac{15b}{2}+3c}=\frac{10a+10b+4c}{15a+15b+6c}=\frac{2}{3}\)

zậy GTNN của P=2/3 

dấu = xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}2a+3b=3a+2b=c\\ab+bc+ac=11\end{cases}=>a=b=1,c=5}\)

cách của bạn kia cx đc nha , cậu có thể tham khảo cách mình