Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a)
Gọi C’ là trung điểm của OM.
Suy ra BC’ là đường trung tuyến
Suy ra tam giác OBC là tam giác đều : OB=OC’=BC’=R
Suy ra góc BOC’ =60 độ
Mà goc BAM = góc BOC’ = sđcung BA chia 2 = sđ cung BC’ ( do cung BC’=cung C’A);
Suy ra góc BAM=60 độ
Mà tam giác BAM là tam giác cân có MA=MB(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Suy ra tam giác BAM là tam giác đều.
Do BAM là tam giác đều suy ra AB=MA=MB
Áp dụng định lí py-ta-go trong tam giác vuông ta có:
b)
ta thấy điểm C trùng với C’
mà ta có OB=OA=AC’=BC’=R
suy ra tứ giác OBC’A là hình thoi
suy ra tứ giác OBCA là hình thoi
1: Xét (O) có
MA,MB là các tiếp tuyến
Do đó:MA=MB
=>M nằm trên đường trung trực của AB(1)
Ta có: OA=OB
=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)
Từ (1) và (2) suy ra MO là đường trung trực của AB
=>MO\(\perp\)AB tại H và H là trung điểm của AB
2: Ta có: ΔOAM vuông tại A
=>\(AO^2+AM^2=OM^2\)
=>\(AM^2=\left(2R\right)^2-R^2=3R^2\)
Xét ΔAMO vuông tại A có AH là đường cao
nên \(MH\cdot MO=MA^2\)
=>\(MH\cdot MO=3R^2\)
3:
Xét ΔOAM vuông tại A có \(sinAMO=\dfrac{OA}{OM}=\dfrac{1}{2}\)
nên \(\widehat{AMO}=30^0\)
Xét (O) có
MA,MB là các tiếp tuyến
Do đó: MO là phân giác của góc AMB
=>\(\widehat{AMB}=2\cdot\widehat{AMO}=2\cdot30^0=60^0\)
Xét ΔMAB có MA=MB và \(\widehat{AMB}=60^0\)
nên ΔMAB đều
4: Xét (O) có
\(\widehat{MAI}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến AM và dây cung AI
\(\widehat{IKA}\) là góc nội tiếp chắn cung AI
Do đó: \(\widehat{MAI}=\widehat{IKA}\)
Xét ΔMAI và ΔMKA có
\(\widehat{MAI}=\widehat{MKA}\)
\(\widehat{AMI}\) chung
Do đó: ΔMAI đồng dạng với ΔMKA
=>\(\dfrac{MA}{MK}=\dfrac{MI}{MA}\)
=>\(MA^2=MI\cdot MK\)
mà \(MA^2=MH\cdot MO\)
nên \(MI\cdot MK=MH\cdot MO\)
Ta có: \(\widehat{MAI}+\widehat{OAI}=\widehat{OAM}=90^0\)
\(\widehat{HAI}+\widehat{OIA}=90^0\)(ΔAHI vuông tại H)
mà \(\widehat{OAI}=\widehat{OIA}\)(ΔOAI cân tại O)
nên \(\widehat{MAI}=\widehat{HAI}\)
=>AI là phân giác của góc MAH
a) Tứ giác MAOB có: \(\widehat{OAM}=90^0\left(0A\perp AM\right);\widehat{OBM}=90^0\left(CB\perp BM\right)\)
=> \(\widehat{OAM}+\widehat{OBM}=180^O\)
=> AOBM nội tiếp (tổng 2 góc đối = 180)
Vì I là tâm=> I là trung điểm OM
b) Tính \(MA^2=3R^2\Rightarrow MC.MD=3R^2\)
c) CM: OM là trung trực AB
=> FA=FB
=> tam giác FAB cân tại F
Gọi H là giao điểm AB và OM
Ta có: OA=OB=AI=R => tam giác OAI đều
=> OAI =60O=> FAB=60o (cùng phụ AFI)
Vậy tam giác AFB đều
d) Kẻ EK vuông góc với FB tại K. Ta có:
\(S_{B\text{EF}}=\frac{1}{2}.FB.EK\)
Mà \(EK\le BE\)( TAM giác BEK vuông tại K)
Lại có: \(BE\le OA\)(LIÊN hệ đường kính và dây cung)
=> \(S_{B\text{EF}}\le\frac{1}{2}.R\sqrt{3}.2R=R^2\sqrt{3}\)
GTLN của \(S_{B\text{EF}}=R^2\sqrt{3}\). kHI ĐÓ BE là đường kính (I)
Kẻ đường kính BG của (I). Vì B và (I) cố định nên BG cố
định . Khi đó vị trí cắt tuyến MCD để \(S_{B\text{EF}}\)đạt GTLN là C là giao điểm của FG với đường tron (O)
a/
Xét tg vuông AMO có
\(\sin\widehat{AMO}=\dfrac{OA}{OM}=\dfrac{R}{2R}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow\widehat{AMO}=30^o\)
Xét tg vuông AMO và tg vuông BMO có
MO chung; OA=OB=R => tg AMO = tg BMO (Hai tg vuông có cạnh huyền và 1 cạnh góc vuông bằng nhau)
\(\Rightarrow\widehat{AMO}=\widehat{BMO}=30^o\Rightarrow\widehat{AMO}+\widehat{BMO}=\widehat{AMB}=30^o+30^o=60^o\)
Xét tg MAB có
tg AMO = tg BMO (cmt) => MA=MB => tg MAB cân tại M
\(\Rightarrow\widehat{MAB}=\widehat{MBA}\)
Ta có
\(\widehat{MBA}+\widehat{MAB}=180^o-\widehat{AMB}=180^0-60^o=120^o\)
\(\Rightarrow2\widehat{MAB}=120^o\Rightarrow\widehat{MAB}=\widehat{MBA}=120^o:2=60^o\)
\(\Rightarrow\widehat{AMB}=\widehat{MAB}=\widehat{MBA}=60^o\) => tg MAB là tg đều
b/ Gọi H là giao của MO với AB
\(\Rightarrow AB\perp MO;HA=HB\) (2 tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm ngoài hình tròn thì đường nối điểm đó với tâm vuông góc và chia đôi đoạn thẳng nối 2 tiếp điểm)
Ta có
\(S_{AOC}=\dfrac{1}{2}.HA.OC;S_{BOC}=\dfrac{1}{2}.HB.OC\) mà HA=HB (cmt)
\(\Rightarrow S_{AOC}=S_{BOC}\)
\(S_{AOBC}=S_{AOC}+S_{BOC}=2.S_{AOC}=HA.OC\)
Xét tg vuông AMO có
\(AO^2=OH.MO\) (Trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)
\(\Rightarrow OH=\dfrac{AO^2}{MO}=\dfrac{R^2}{2R}=\dfrac{R}{2}\)
Ta có
\(MH=MO-OH=2R-\dfrac{R}{2}=\dfrac{3R}{2}\)
Ta có
\(HA^2=MH.OH\) (trong tg vuông bình phương đường cao hạ từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền bằng tích giữa 2 hình chiếu của 2 cạnh góc vuông trên cạnh huyền)
\(\Rightarrow HA=\sqrt{MH.OH}=\sqrt{\dfrac{3R}{2}.\dfrac{R}{2}}=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}\)
\(\Rightarrow S_{AOBC}=HA.OC=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}.R=\dfrac{R^2\sqrt{3}}{2}\)
c/
Ta có
\(MA\perp OA;OD\perp OA\) => MA//OD
\(\Rightarrow\widehat{MOD}=\widehat{AMO}=30^o\) (góc so le trong)
Xét tg vuông BMO có
\(\widehat{MOB}=90^o-\widehat{OMB}=90^o-30^o=60^o\)
\(\Rightarrow\widehat{BOD}=\widehat{MOB}-\widehat{MOD}=60^o-30^o=30^o\)
\(\Rightarrow\widehat{MOD}=\widehat{BOD}=30^o\)
Xét tg BOD và tg COD có
\(OB=OC=R\)
OD chung
\(\widehat{BOD}=\widehat{MOD}\) (cmt)
=> tg BOD = tg COD (c.g.c)\(\Rightarrow\widehat{OCD}=\widehat{OBD}=90^o\Rightarrow CD\perp OC\)
=> CD là tiếp tuyến với (O)
a) \(\Delta ABM\) nội tiếp đường tròn (O) có bán kính AB
=> \(\Delta ABM\) vuông tại M
b) Xét \(\Delta ABM\) vuông tại M, đường cao MH
=> \(AB^2+BH^2=25\)
=> AB =5
Ta có: MH .BC = MA.MB
=> MH =2,4
c) \(\Delta AMC\) vuông tại M, MN là tiếp tuyến
=> MN = NA= NC =AC/2
Xét \(\Delta OAN\) và \(\Delta OMN\) có:
OA =OH =R
ON chung
NA = NM
=> \(\Delta OAN=\Delta OMN\)
=> \(\widehat{OAN}=\widehat{OMN}=90^o\)
=> MN \(\perp\) OM
mà M thuộc (O)
=> MN là tiếp tuyến của (O)
d) Ta có: ON là tia phân giác \(\widehat{AOM}\)
OD là phân giác góc BOM
\(\widehat{AOM}=\widehat{BOM}\) (kề bù)
=> ON\(\perp\)OD
Xét \(\Delta NOD\) vuông tại O, đường cao OM
\(OM^2=NA.DB=>R^2=NA.DB\) (đpcm)
