K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

5 tháng 12 2020

Ta có: \(f\left(x\right)=x^2+px+q\)

\(\Rightarrow f\left(f\left(x\right)+x\right)=\left(f\left(x\right)+x\right)^2+p\left(f\left(x\right)+x\right)+q\)

\(=f\left(x\right)^2+2f\left(x\right).x+x^2+p.f\left(x\right)+p.x+q\)

\(=f\left(x\right)^2+2f\left(x\right).x+p.f\left(x\right)+\left(x^2+p.x+q\right)\)

\(=f\left(x\right)^2+2f\left(x\right).x+p.f\left(x\right)+f\left(x\right)\)

\(=f\left(x\right).\left(f\left(x\right)+2x+p+1\right)=f\left(x\right).\left(x^2+px+q+2x+p+1\right)\)

\(=f\left(x\right).\left(\left(x+1\right)^2+\left(x+1\right)p+q\right)=f\left(x\right).f\left(x+1\right)\)

Vậy tồn tại số nguyên k để f(k) = f(2008).f(2009) ( Chọn x = 2018 thì \(k=f\left(2018\right)+2018\))

22 tháng 11 2017

Ta có :

\(f\left(f\left(x\right)+x\right)=\left(f\left(x\right)+x\right)^2+p\left(f\left(x\right)+x\right)+q.\)

\(=f\left(x\right)^2+2f\left(x\right).x+x^2+p.f\left(x\right)+px+q\)

\(=f\left(x\right)^2+2f\left(x\right).x+p.f\left(x\right)+f\left(x\right)\)

\(=f\left(x\right)\left(f\left(x\right)+2x+p+1\right)\)

\(=f\left(x\right)\left[\left(x^2+2x+1\right)+\left(px+p\right)+q\right]\)

\(=f\left(x\right)\left[\left(x+1\right)^2+p\left(x+1\right)+q\right]\)

\(=f\left(x\right).f\left(x+1\right)\)

Từ đây thì ta thấy được nếu :

   \(k=f\left(2008\right)+2008\) thì

\(\Leftrightarrow f\left(k\right)=f\left(f\left(2008\right)+2008\right)\)

\(\Leftrightarrow f\left(k\right)=f\left(2008\right)\times f\left(2009\right)\)

22 tháng 11 2017

Câu hỏi của nguyễn thu ngà - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

AH
Akai Haruma
Giáo viên
25 tháng 3 2021

Bạn tham khảo lời giải tại đây:

Cho đa thức f(x) = x^2+ax+b(a,b thuộc Z).Chứng minh rằng tồn tại số nguyên tố k để f(x) = f(2019).f(2020) - Hoc24

9 tháng 5 2016

ta chứng minh:f[f(x)+x]=f(x)*f(x+1)

thậy vậy:

f[f(x)+x]=[f(x)+x]2+b[f(x)+x]+c

=f2(x)+2f(x)*x+x2+bf(x)+c(x)+c

=f(x)[f(x)+2x+b]+x2+bx+c

=f(x)[f(x)+2x+b]+f(x)

=f(x)[f(x)+2x+b+1]

=f(x)[(x2+b+c+2x+b+1]

=f(x)[(x+1)2+b(x+1)+c]

=f(x)*f(x+1)

Với x = 2008, đặt k = f(2008) + 2008 ta có đpcm

9 tháng 5 2016

tui bít nè vậy tui giỏi hơn you nhé chờ tí tui đăng lên

NV
25 tháng 3 2022

Xét \(f\left[f\left(x\right)+x\right]=\left[f\left(x\right)+x\right]^2+m\left[f\left(x\right)+x\right]+n\)

\(=\left(x^2+mx+n+x\right)^2+m\left(x^2+mx+n+x\right)+n\)

\(=\left(x^2+mx+n\right)^2+2x\left(x^2+mx+n\right)+x^2+m\left(x^2+mx+n\right)+mx+n\)

\(=\left(x^2+mx+n\right)^2+2x\left(x^2+mx+n\right)+m\left(x^2+mx+n\right)+\left(x^2+mx+n\right)\)

\(=\left(x^2+mx+n\right)\left(x^2+mx+n+2x+m+1\right)\)

\(=\left(x^2+mx+n\right)\left[\left(x+1\right)^2+m\left(x+1\right)+n\right]\)

\(=f\left(x\right).f\left(x+1\right)\)

Thay \(x=2021\)

\(\Rightarrow f\left[f\left(2021\right)+2021\right]=f\left(2021\right).f\left(2022\right)\)

Đặt \(f\left(2021\right)+2021=k\)

Do \(f\left(x\right)\) có hệ số m;n nguyên \(\Rightarrow k\) nguyên

\(\Rightarrow f\left(k\right)=f\left(2021\right).f\left(2022\right)\) với k nguyên 

Hay tồn tại số nguyên k thỏa mãn yêu cầu