Chứng minh căn(n) + căn(n+1) là số vô tỉ
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NQ
0
LH
3
15 tháng 3 2020
a) Giả sử \(\sqrt{2}\) là số hữu tỉ nên suy ra : \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\) ( a ; b \(\in\) N* ) ; ( a ; b ) = 1
\(\implies\) \(b\sqrt{2}=a\)
\(\implies\) \(b^2.2=a^2\)
\(\implies\) \(a\) chia hết cho \(2\) ; mà \(2\) là số nguyên tố
\(\implies\) \(a\) chia hết cho \(2\)
\(\implies\) \(a^2\) chia hết cho \(4\)
\(\implies\) \(b^2.2\) chia hết cho \(4\)
\(\implies\) \(b^2\) chia hết cho \(2\) ; mà \(2\) là số nguyên tố
\(\implies\) \(b\) chia hết cho \(2\)
\( \implies\) \(\left(a;b\right)=2\) mâu thuẫn với \(\left(a;b\right)=1\)
\( \implies\) Điều giả sai
\( \implies\) \(\sqrt{2}\) là số vô tỉ ( đpcm )
b) Giả sử \(5-\sqrt{2}\) là số hữu tỉ nên suy ra : \(5-\sqrt{2}=m\) ( m \(\in\) Q )
\( \implies\) \(\sqrt{2}=5-m\) ; mà \(5\) là số hữu tỉ ; \(m\) là số hữu tỉ nên suy ra : \(5-m\) là số hữu tỉ
Mà theo câu a ; \(\sqrt{2}\) là số vô tỉ
\( \implies\) Mâu thuẫn
\( \implies\) \(5-\sqrt{2}\) là số vô tỉ ( đpcm )
NV
3
30 tháng 5 2017
Do n không chính phương nên trong phân tích ra thừa số nguyên tố của n có ít nhất một thừa số p với số mũ lẻ, viết n=m^2.k với k không chia hết cho số chính phương nào, dễ thấy p chia hết k.
Vậy Căn (n) = m.Căn (k) do đó chỉ cần chứng minh Căn (k) vô tỷ.
Bây giờ giả sử Căn (k) = a/b với (a,b) = 1 => k.b^2 = a^2
=> p chia hết a^2, vì p nguyên tố nên p chia hết a, dẫn đến p^2 chia hết a^2.
Như vậy b^2 phải chia hết cho p vì k không chia hết cho p^2, dẫn đến p chia hết b, điều này chứng tỏ (a,b) = p > 1. (Mâu thuẫn)
Tóm lại Căn (k) là vô tỷ, nói cách khác Căn (n) vô tỷ.
29 tháng 5 2017
Tham khảo nè bác :)
Câu hỏi của Đỗ Văn Hoài Tuân - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath
Do n không chính phương nên trong phân tích ra thừa số nguyên tố của n có ít nhất một thừa số p với số mũ lẻ, viết n=m^2.k với k không chia hết cho số chính phương nào, dễ thấy p chia hết k.
Vậy Căn (n) = m.Căn (k) do đó chỉ cần chứng minh Căn (k) vô tỷ.
Bây giờ giả sử Căn (k) = a/b với (a,b) = 1 => k.b^2 = a^2 => p chia hết a^2, vì p nguyên tố nên p chia hết a, dẫn đến p^2 chia hết a^2.
Như vậy b^2 phải chia hết cho p vì k không chia hết cho p^2, dẫn đến p chia hết b, điều này chứng tỏ (a,b) = p > 1. (Mâu thuẫn) Tóm lại Căn (k) là vô tỷ, nói cách khác Căn (n) vô tỷ
(đ.p.c.m)
28 tháng 7 2017
cũng nhưu nhân số âm và số dương can cũng chứng minh tương tự
vì căn 2 là số vô tỉ
vì cắn 3 là số vô tỉ
và căn 5 cũng là số vô tỉ nên khi cộng lại với nhau nó sẽ ra số vô tỉ
NP
1
LT
0
PT
27 tháng 2 2021
Giả sử √2 không phải là số vô tỉ. Khi đó tồn tại các số nguyên a và b sao cho √2 = a/b với b > 0. Hai số a và b không có ước chung nào khác 1 và -1.
Ta có: (√2 )2 = (a/b)2 hay a2=2b2 (1)
Kết quả trên chứng tỏ a là số chẵn, nghĩa là ta có a = 2c với c là số nguyên.
Thay a = 2c vào (1) ta được: (2c)2=2b2 hay b2=2c2
Kết quả trên chứng tỏ b phải là số chẵn.
Hai số a và b đều là số chẵn, trái với giả thiết a và b không có ước chung nào khác 1 và -1.
Vậy √2 là số vô tỉ.
