Cho a+b+c=3.Tìm GTNN của A=a^2(a+b)^2+b^2(b+c)^2+c^2(c+a)^2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
17 tháng 4 2021
\(P\ge\dfrac{3abc}{2abc}+\dfrac{a^2+b^2}{c^2+\dfrac{a^2+b^2}{2}}+\dfrac{b^2+c^2}{a^2+\dfrac{b^2+c^2}{2}}+\dfrac{c^2+a^2}{b^2+\dfrac{c^2+a^2}{2}}\)
\(P\ge\dfrac{3}{2}+2\left(\dfrac{a^2+b^2}{a^2+c^2+b^2+c^2}+\dfrac{b^2+c^2}{a^2+b^2+a^2+c^2}+\dfrac{a^2+c^2}{a^2+b^2+b^2+c^2}\right)\)
Đặt \(\left(a^2+b^2;b^2+c^2;a^2+c^2\right)=\left(x;y;z\right)\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{3}{2}+2\left(\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}\right)=\dfrac{3}{2}+2\left(\dfrac{x^2}{xy+xz}+\dfrac{y^2}{yz+xy}+\dfrac{z^2}{xz+yz}\right)\)
\(P\ge\dfrac{3}{2}+\dfrac{2\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)}\ge\dfrac{3}{2}+\dfrac{3\left(xy+yz+zx\right)}{xy+yz+zx}=3+\dfrac{3}{2}=\dfrac{9}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
10 tháng 2
Lời giải:
Ta có:
$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)=(a+b)[(a^2+ab+b^2)-2ab]$
Áp dụng BĐT AM-GM:
$a^2+ab+b^2=(a^2+b^2)+ab\geq 2ab+ab=3ab$
$\Rightarrow 2ab\leq \frac{2(a^2+ab+b^2)}{3}$
$\Rightarrow a^2-ab+b^2=a^2+b^2+ab-2ab\geq a^2+b^2+ab- \frac{2}{3}(a^2+ab+b^2)=\frac{1}{3}(a^2+ab+b^2)$
$\Rightarrow a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\geq \frac{1}{3}(a+b)(a^2+ab+b^2)$
$\Rightarrow \frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{1}{3}(a+b)$
Hoàn toàn tương tự với các phân thức khác và cộng theo vế thu được:
$P\geq \frac{1}{3}(a+b)+\frac{1}{3}(b+c)+\frac{1}{3}(c+a)=\frac{2}{3}(a+b+c)$
$\geq \frac{2}{3}.3\sqrt[3]{abc}=2$
Vậy $P_{\min}=2$. Giá trị này đạt tại $a=b=c=1$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
10 tháng 2
Lời giải:
Ta có:
$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)=(a+b)[(a^2+ab+b^2)-2ab]$
Áp dụng BĐT AM-GM:
$a^2+ab+b^2=(a^2+b^2)+ab\geq 2ab+ab=3ab$
$\Rightarrow 2ab\leq \frac{2(a^2+ab+b^2)}{3}$
$\Rightarrow a^2-ab+b^2=a^2+b^2+ab-2ab\geq a^2+b^2+ab- \frac{2}{3}(a^2+ab+b^2)=\frac{1}{3}(a^2+ab+b^2)$
$\Rightarrow a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\geq \frac{1}{3}(a+b)(a^2+ab+b^2)$
$\Rightarrow \frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{1}{3}(a+b)$
Hoàn toàn tương tự với các phân thức khác và cộng theo vế thu được:
$P\geq \frac{1}{3}(a+b)+\frac{1}{3}(b+c)+\frac{1}{3}(c+a)=\frac{2}{3}(a+b+c)$
$\geq \frac{2}{3}.3\sqrt[3]{abc}=2$
Vậy $P_{\min}=2$. Giá trị này đạt tại $a=b=c=1$
CD
1
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
3 tháng 5 2022
Ta có: \(1=a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\).
\(P=\dfrac{a^3}{b+2c}+\dfrac{b^3}{c+2a}+\dfrac{c^3}{a+2b}=\dfrac{a^4}{ab+2ca}+\dfrac{b^4}{bc+2ab}+\dfrac{c^4}{ca+2bc}\)
\(\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3\left(ab+bc+ca\right)}=\dfrac{1}{3\left(ab+bc+ca\right)}\ge\dfrac{1}{3}\)
Dấu \(=\) xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\).
CM
1
15 tháng 2 2022
\(\dfrac{a^3}{a^2+bc}=a-\dfrac{abc}{a^2+bc}\ge a-\dfrac{abc}{2a\sqrt{bc}}=a-\dfrac{\sqrt{bc}}{2}\)
\(\dfrac{b^3}{b^2+ca}\ge b-\dfrac{\sqrt{ac}}{2};\dfrac{c^3}{c^2+ab}\ge c-\dfrac{\sqrt{ab}}{2}\)
\(\Rightarrow M\ge a+b+c-\left(\dfrac{\sqrt{ab}}{2}+\dfrac{\sqrt{bc}}{2}+\dfrac{\sqrt{ca}}{2}\right)=2022-\left(\dfrac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}\right)\)
\(do:\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\le a+b+c\)
\(\Rightarrow M\ge2022-\dfrac{a+b+c}{2}=2022-\dfrac{2022}{2}=1011\)
\(min_M=2021\Leftrightarrow a=b=c=674\)
15 tháng 2 2022
có đoạn bạn sửa lại tí nhé tại lúc đầu mình đọc đề thành \(a+b+c=2022\)
\(M\ge a+b+c-\left(\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{2}\right)\ge a+b+c-\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{a+b+c}{2}\ge\dfrac{2022}{2}=1011\)
MN
2
BT
5 tháng 11 2016
a+b+c=3/2 => (a+b+c)2 = 9/4 <=> a2+b2+c2+2ac+2bc+2ac =9/4
mà ta có a2+b2+c2>= ac+bc+ac ( dễ dàng chứng minh được khi nhân hai lên rồi nhóm thành hằng đẳng thức hai số)
=> 3(a2+b2+c2)>= 9/4 <=> 4(a2+b2+c2) >= 4
=> min M=4 dấu bằng xảy ra <=> a=b=c=1/2
MN
0
MN
1
5 tháng 11 2016
Áp dụng BĐT BCS : \(\frac{3M}{4}=\left(1^2+1^2+1^2\right).\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2=\frac{9}{4}\Rightarrow M\ge3\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1/2
Vậy ..................................
PT
2
4 tháng 5 2017
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dưới dạng Engel ta có :
\(A=a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{1+1+1}=\frac{2^2}{3}=\frac{4}{3}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{2}{3}\)
Vậy .............