Cho 3 số x,y,z thỏa mãn |x| + |y| + |z|=10
Tìm GTNN của A = |x-1| + |y-2| + |z-3|
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
24 tháng 5 2022
\(x,y,z>0\)
Áp dụng BĐT Caushy cho 3 số ta có:
\(x^3+y^3+z^3\ge3\sqrt[3]{x^3y^3z^3}=3xyz\ge3.1=3\)
\(P=\dfrac{x^3-1}{x^2+y+z}+\dfrac{y^3-1}{x+y^2+z}+\dfrac{z^3-1}{x+y+z^2}\)
\(=\dfrac{\left(x^3-1\right)^2}{\left(x^2+y+z\right)\left(x^3-1\right)}+\dfrac{\left(y^3-1\right)^2}{\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)}+\dfrac{\left(z^3-1\right)^2}{\left(x+y+z^2\right)\left(x^3-1\right)}\)
Áp dụng BĐT Caushy-Schwarz ta có:
\(P\ge\dfrac{\left(x^3+y^3+z^3-3\right)^2}{\left(x^2+y+z\right)\left(x^3-1\right)+\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)+\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)}\)
\(\ge\dfrac{\left(3-3\right)^2}{\left(x^2+y+z\right)\left(x^3-1\right)+\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)+\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)}=0\)
\(P=0\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Vậy \(P_{min}=0\)
VP
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
23 tháng 9 2021
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$x^2+\frac{1}{2x}+\frac{1}{2x}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$
Tương tự:
$y^2+\frac{1}{2y}+\frac{1}{2y}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$
$z^2+\frac{1}{2z}+\frac{1}{2z}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$
Cộng theo vế:
$A\geq 9\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$ (đây chính là $A_{\min}$)
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$
30 tháng 5 2020
\(x\left(x-z\right)+y\left(y-z\right)=0\)\(\Leftrightarrow\)\(x^2+y^2=z\left(x+y\right)\)
\(\frac{x^3}{z^2+x^2}=x-\frac{z^2x}{z^2+x^2}\ge x-\frac{z^2x}{2zx}=x-\frac{z}{2}\)
\(\frac{y^3}{y^2+z^2}=y-\frac{yz^2}{y^2+z^2}\ge y-\frac{yz^2}{2yz}=y-\frac{z}{2}\)
\(\frac{x^2+y^2+4}{x+y}=\frac{z\left(x+y\right)+4}{x+y}=z-x-y+\frac{4}{x+y}+x+y\ge z-x-y+4\)
Cộng lại ra minP=4, dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
19 tháng 1 2021
Lời giải:
Bạn cần bổ sung điều kiện $x,y,z>0$
\(P=\frac{1}{x.\frac{y^2+z^2}{y^2z^2}}+\frac{1}{y.\frac{z^2+x^2}{z^2x^2}}+\frac{1}{z.\frac{x^2+y^2}{x^2y^2}}=\frac{1}{x(\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2})}+\frac{1}{y(\frac{1}{z^2}+\frac{1}{x^2})}+\frac{1}{z(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2})}\)
\(=\frac{1}{x(3-\frac{1}{x^2})}+\frac{1}{y(3-\frac{1}{y^2})}+\frac{1}{z(3-\frac{1}{z^2})}=\frac{x}{3x^2-1}+\frac{y}{3y^2-1}+\frac{z}{3z^2-1}\)
Vì $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=3\Rightarrow x^2, y^2, z^2>\frac{1}{3}$
Xét hiệu:
\(\frac{x}{3x^2-1}-\frac{1}{2x^2}=\frac{(x-1)^2(2x+1)}{2x^2(3x^2-1)}\geq 0\) với mọi $x>0$ và $x^2>\frac{1}{3}$
$\Rightarrow \frac{x}{3x^2-1}\geq \frac{1}{2x^2}$
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế ta có:
$P\geq \frac{1}{2}(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2})=\frac{3}{2}$
Vậy $P_{\min}=\frac{3}{2}$ khi $x=y=z=1$
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
1 tháng 3 2023
Ta có: \(2x^3+2y^3-\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)=\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\)
\(\Rightarrow\dfrac{x^3+y^3}{x^2+y^2}\ge\dfrac{x+y}{2}\)
Tương tự: \(\dfrac{y^3+z^3}{y^2+z^2}\ge\dfrac{y+z}{2}\) ; \(\dfrac{z^3+x^3}{z^2+x^2}\ge\dfrac{z+x}{2}\)
Cộng vế: \(P\ge x+y+z\ge6\)
\(P_{min}=6\) khi \(x=y=z=2\)
1 tháng 2 2021
Áp dụng bất đẳng thức Bunhia dạng phân thức cho 3 số ta có:
\(\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{x+z}+\dfrac{z^2}{x+y}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\dfrac{x+y+z}{2}=\dfrac{2}{2}=1\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\begin{matrix}\dfrac{x}{y+z}=\dfrac{y}{z+x}=\dfrac{z}{x+y}\\x,y,z>0;x+y+z=2\end{matrix}\)
\(\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{2}{3}\)
1 tháng 2 2021
Áp dụng BĐT Svac-xơ cho 3 số dương có :
\(\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2.\left(x+y+z\right)}=1\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{2}{3}\)
Vậy Min biểu thức cho là 1 khi \(x=y=z=\dfrac{2}{3}\)
BX
2
31 tháng 8 2023
Ta có \(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2+x^2-2xz+z^2+y^2+2yz+z^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2xz-2yz\ge0\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2xz+2yz\)
\(\Leftrightarrow3x^2+3y^2+3z^2\ge x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz\)
\(\Leftrightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Leftrightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge3^2\)
\(\Leftrightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge9\)
ND
Nguyễn Đức Trí
VIP
1 tháng 9 2023
Áp dụng Bđt Bunhiacopxki cho các cặp số dương \(\left(1;x\right);\left(1;y\right);\left(1;z\right)\)
\(\left(1.x+1.y+1.z\right)^2\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\le3\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(\Leftrightarrow P=x^2+y^2+z^2\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\dfrac{9}{3}=3\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{z}\Rightarrow x=y=z=\dfrac{3}{3}=1\)
Vậy \(GTNN\left(P\right)=3\left(tạix=y=z=1\right)\)
