\(\frac{a-1}{2}=\frac{b-2}{3}=\frac{c-3}{4}\)và a+b-c=9
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
29 tháng 4 2016
\(A=\frac{11}{9}-\frac{7}{8}+-\frac{2}{3}-\frac{1}{8}+\frac{25}{9}-\frac{4}{3}\)
\(A=1\)
\(B=1\frac{3}{4}:\frac{3}{5}-\frac{2}{3}x1,75+\left(\frac{1}{2}\right)^2:\frac{1}{7}\)
\(B=3,5\)
ND
10 tháng 8 2019
1.
C/m bổ đề: \(a^3-b^3\ge\frac{1}{4}\left(a^3-b^3\right)\) với \(\forall a,b\in R,a\ge b\)
\(\Leftrightarrow4a^3-4b^3-\left(a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow3a^3+3a^2b-3ab^2-3b^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2-b^2\right)\left(a+b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow3\left(a+b\right)^2\left(a-b\right)\ge0\)(đúng)
Theo bài ra: \(a^3-b^3\ge3a-3b-4\)
\(\Leftrightarrow\) Cần c/m: \(\left(a-b\right)^3\ge12a-12b-16\)(1)
Thật vậy:
\(\left(1\right)\)\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^3-12\left(a-b\right)+16\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left[\left(a-b\right)^3-8\right]-12\left(a-b-2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b-2\right)\left[\left(a-b\right)^2+2\left(a-b\right)+4\right]-12\left(a-b-2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b-2\right)\left[\left(a-b\right)^2+2\left(a+b\right)-8\right]\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b-2\right)^2\left(a-b+4\right)\ge0\) (đúng với mọi a,b thỏa mãn \(a,b\in R,a\ge b\))
ND
10 tháng 8 2019
2.
\(BĐT\Leftrightarrow\frac{1}{\frac{a+b}{ab}}+\frac{1}{\frac{c+d}{cd}}\le\frac{1}{\frac{a+b+c+d}{\left(a+c\right)\left(b+d\right)}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab}{a+b}+\frac{cd}{c+d}\le\frac{\left(a+c\right)\left(b+d\right)}{a+b+c+d}\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab\left(c+d\right)+cd\left(a+b\right)}{\left(a+b\right)\left(c+d\right)}\le\)\(\frac{ab+ad+bc+cd}{a+b+c+d}\)
\(\Leftrightarrow\frac{abc+abd+acd+bcd}{ac+ad+bc+bd}\le\frac{ab+ad+bc+cd}{a+b+c+d}\)
\(\Leftrightarrow\left(ad+ab+bc+cd\right)\left(ac+ad+bc+bd\right)\ge\)\(\left(a+b+c+d\right)\left(abc+abd+acd+bcd\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(ad\right)^2-2abcd+\left(bc\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ad-bc\right)^2\ge0\) (đúng với mọi a,b,c,d>0)
HP
15 tháng 10 2020
3.
\(5a^2+2ab+2b^2=\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(4a^2+4ab+b^2\right)\)
\(=\left(a-b\right)^2+\left(2a+b\right)^2\ge\left(2a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}\ge2a+b\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}\le\frac{1}{2a+b}\)
Tương tự \(\frac{1}{\sqrt{5b^2+2bc+2c^2}}\le\frac{1}{2b+c};\frac{1}{\sqrt{5c^2+2ca+2a^2}}\le\frac{1}{2c+a}\)
\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2a+b}+\frac{1}{2b+c}+\frac{1}{2c+a}\)
\(\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\)
\(=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\le\frac{1}{3}.\sqrt{3\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
\(\Rightarrow MaxP=\frac{\sqrt{3}}{3}\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{3}\)
31 tháng 7 2020
1)
Ta có : \(\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}\)=> \(\frac{a^2}{9}=\frac{b^2}{16}=\frac{c^2}{25}\)=> \(\frac{a^2}{9}=\frac{2b^2}{32}=\frac{c^2}{25}\)
Đặt \(\frac{a^2}{9}=\frac{2b^2}{32}=\frac{c^2}{25}=k\)
=> \(\hept{\begin{cases}a^2=9k\\2b^2=32k\\c^2=25k\end{cases}}\)
=> \(a^2+2b^2-c^2=9k+32k-25k=16k\)
=> \(16k=144\)
=> \(k=9\)
Do đó \(\hept{\begin{cases}a^2=9\cdot9\\2b^2=32\cdot9\\c^2=25\cdot9\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2=81\\b^2=144\\c^2=225\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=9\\b=12\\c=15\end{cases}}\)
2) Ta có : \(\frac{a}{5}=\frac{b}{7}=\frac{c}{9}\)=> \(\frac{a^2}{25}=\frac{b^2}{49}=\frac{c^2}{81}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(\frac{a^2}{25}=\frac{b^2}{49}=\frac{c^2}{81}=\frac{a^2+b^2-c^2}{25+49-81}=\frac{-28}{-7}=4\)
=> \(\hept{\begin{cases}\frac{a^2}{25}=4\\\frac{b^2}{49}=4\\\frac{c^2}{81}=4\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2=100\\b^2=196\\c^2=324\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=10\\b=14\\c=18\end{cases}}\)
TT
31 tháng 7 2020
a) đặt \(\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}=k\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=3k\\b=4k\\c=5k\end{cases}}\)
đặt \(a^2+2b^2-c^2=144\)
\(\Leftrightarrow\left(3k\right)^2+2\left(4k\right)^2-\left(5k\right)^2=144\)
\(\Leftrightarrow9k^2+32k^2-25k^2=144\)
\(\Leftrightarrow k^2\left(9+32-25\right)=144\)
\(\Leftrightarrow k^216=144\)
\(\Leftrightarrow k^2=9\)
\(\Leftrightarrow k=\sqrt{9}=\pm3\)
do đó
\(\frac{a}{3}=k\Leftrightarrow\frac{a}{3}=\pm3\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=3.3=9\\a=3.\left(-3\right)=-9\end{cases}}\)
\(\frac{b}{4}=k\Leftrightarrow\frac{b}{4}=\pm3\Rightarrow\hept{\begin{cases}b=4.3=12\\b=4.\left(-3\right)=-12\end{cases}}\)
\(\frac{c}{5}=k\Leftrightarrow\frac{c}{5}=\pm3\Rightarrow\hept{\begin{cases}c=5.3=15\\c=5.\left(-3\right)=-15\end{cases}}\)
vậy các cặp a,b,c thỏa mãn là \(\left\{a=9;b=12;c=15\right\}\left\{a=-9;b=-12;c=-15\right\}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 8 2020
Bạn tham khảo:
Câu hỏi của Nobody - Toán lớp 8 | Học trực tuyến
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
6 tháng 5 2021
Ta chứng minh BĐT sau với các số dương:
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\)
Thật vậy, BĐT tương đương: \(\dfrac{x+y}{xy}\ge\dfrac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Áp dụng:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\) ; \(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{4}{b+c}\) ; \(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{4}{c+a}\)
Cộng vế với vế:
\(2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge\dfrac{4}{a+b}+\dfrac{4}{b+c}+\dfrac{4}{c+a}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{2}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{2}{c+a}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
6 tháng 5 2021
b.
Ta có:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\Rightarrow\dfrac{3}{a}+\dfrac{3}{b}\ge\dfrac{12}{a+b}\) (1)
\(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{4}{b+c}\Rightarrow\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}\ge\dfrac{8}{b+c}\) (2)
\(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{4}{c+a}\) (3)
Cộng vế với vế (1); (2) và (3):
\(\dfrac{4}{a}+\dfrac{5}{b}+\dfrac{3}{c}\ge4\left(\dfrac{3}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
20 tháng 7 2016
Ta có :
\(\frac{a}{2}=\frac{b}{3};\frac{a}{4}=\frac{c}{9}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{4}=\frac{b}{6}=\frac{c}{9}\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{64}=\frac{b^3}{216}=\frac{c^3}{729}\)
Áp dụng c/t tỉ lệ thức = nhau ta có :
\(\frac{a^3}{64}=\frac{b^3}{216}=\frac{c^3}{729}=\frac{a^3+b^3+c^3}{64+216+729}=\frac{-1009}{1009}=-1\)
- \(\frac{a^3}{64}=-1\Rightarrow a^3=-64\Rightarrow a=-4\)
- \(\frac{b^3}{216}=-1\Rightarrow b^3=-216\Rightarrow a=-6\)
- \(\frac{c^3}{729}=-1\Rightarrow c^3=-729\Rightarrow a=-9\)
Vậy a = -4 b = -6 c = -9
\(\frac{a-1}{2}=\frac{b-2}{3}=\frac{c-3}{4}=\frac{\left(a-1\right)+\left(b-2\right)-\left(c-3\right)}{2+3-4}=\frac{a-1+b-2-c+3}{1}=\frac{a+b-c-1-2+3}{1}\)=\(\frac{9-1-2+3}{1}=9\)
=> a -1/2 = 9 => a - 1 = 18 => a = 19
=> b - 2 / 3 = 9 => b - 2 = 27 => b = 29
=> c - 3/4 = 9 => c - 3 = 36 => c = 39