Có tồn tại các số hữu tỉ dương a,b hay không nếu :
a) \(\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{2}\)
b) \(\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{\sqrt{2}}\)
@Akai Haruma
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
BM
0
23 tháng 7 2018
Có, chẳng hạn \(\sqrt{\dfrac{1}{2}}+\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\) (với \(a=b=\dfrac{1}{2}\in Q\))
TN
13 tháng 6 2017
$\left ( a+b\sqrt{2} \right )^{1994}+\left ( c+d\sqrt{2} \right )^{1994}= 5+4\sqrt{2}$ - Đại số - Diễn đàn Toán học
AH
Akai Haruma
Giáo viên
19 tháng 7 2018
Lời giải:
Ta có:
\(A+B=a\sqrt{a}+\sqrt{ab}+b\sqrt{b}+\sqrt{ab}\)
\(=(\sqrt{a})^3+(\sqrt{b})^3+2\sqrt{ab}\)
\(=(\sqrt{a}+\sqrt{b})(a-\sqrt{ab}+b)+2\sqrt{ab}\)
\(=(\sqrt{a}+\sqrt{b})[(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2-3\sqrt{ab}]+2\sqrt{ab}\)
Ta thấy \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\in\mathbb{Q}; \sqrt{ab}\in\mathbb{Q}\) nên:
\((\sqrt{a}+\sqrt{b})[(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2-3\sqrt{ab}]\in\mathbb{Q}\) và \(2\sqrt{ab}\in\mathbb{Q}\)
Do đó: \(A+B\in\mathbb{Q}\)
Mặt khác:
\(AB=\sqrt{a}(a+\sqrt{b}).\sqrt{b}(b+\sqrt{a})\)
\(=\sqrt{ab}(a+\sqrt{b})(b+\sqrt{a})\)
\(=\sqrt{ab}(ab+a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+\sqrt{ab})\)
\(=\sqrt{ab}(A+B)\)
Do $A+B$ là số hữu tỉ (cmt) và $\sqrt{ab}$ cũng là số hữu tỉ, nên \(AB\) là số hữu tỉ.
HN
20 tháng 7 2018
Bác Akai Haruma làm nhầm đoạn cuối. Chắc do học nhiều nên mệt. Mình đại diện các bạn khác tiếp sức cho bác.
\(AB=\sqrt{ab}\left(a+\sqrt{b}\right)\left(b+\sqrt{a}\right)\)
\(=\sqrt{ab}\left(ab+a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+\sqrt{ab}\right)\)
\(=\sqrt{ab}\left(ab-\sqrt{ab}+a\sqrt{a}+\sqrt{ab}+b\sqrt{b}+\sqrt{ab}\right)\)
\(=\sqrt{ab}\left(ab-\sqrt{ab}+A+B\right)\)
Vì \(\left\{{}\begin{matrix}A+B\in Q\\\sqrt{ab}\in Q\\ab\in Q\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow AB\in Q\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
25 tháng 4 2018
Lời giải:
Ta có:
\(M=\sqrt{a^2+abc}+\sqrt{b^2+abc}+\sqrt{c^2+abc}+9\sqrt{abc}\)
\(M=\sqrt{a(a+bc)}+\sqrt{b(b+ac)}+\sqrt{c(c+ab)}+9\sqrt{abc}\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\([\sqrt{a(a+bc)}+\sqrt{b(b+ac)}+\sqrt{c(c+ab)}]^2\leq (a+b+c)(a+bc+b+ac+c+ab)\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{a(a+bc)}+\sqrt{b(b+ac)}+\sqrt{c(c+ab)}\leq \sqrt{1+ab+bc+ac}\)
Theo hệ quả của BĐT AM-GM: \(ab+bc+ac\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow \sqrt{a(a+bc)}+\sqrt{b(b+ac)}+\sqrt{c(c+ab)}\leq \frac{2\sqrt{3}}{3}(1)\)
AM-GM: \(a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow abc\leq \frac{1}{27}\Rightarrow 9\sqrt{abc}\leq \sqrt{3}(2)\)
Từ (1);(2) suy ra: \(M\leq \frac{2\sqrt{3}}{3}+\sqrt{3}=\frac{5\sqrt{3}}{3}\)
Vậy \(M_{\max}=\frac{5\sqrt{3}}{3}\) . Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Akai HarumaDƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNGlê thị hương giangNhã DoanhNguyễn Nhật MinhCold Wind