CMR : a4 + b4 + 2 ≥ 4ab ( a,b>0)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
KN
4 tháng 10 2017
theo bài ta có:
a + b + c = 0
=> a = -(b + c)
=> a2 = [-(b + c)]2
=> a2 = b2 + 2bc + c2
=> a2 - b2 - c2 = 2bc
=> ( a2 - b2 - c2)2 = (2bc)2
=> a4 + b4 + c4 - 2a2c2 + 2b2c2 - 2a2c2 = 4b2c2
=> a4 + b4 + c4 = 2a2c2 + 2b2c2 + 2a2c2
=> 2(a4 + b4 + c4) = a4 + b4 + c4 + 2a2c2 + 2b2c2 + 2a2c2
=> 2(a4 + b4 + c4) = (a2 + b2 + c2)2
=> 2(a4 + b4 + c4) = 1
=> a4 + b4 + c4 = \(\dfrac{1}{2}\)
HV
0
ND
2
27 tháng 9 2023
Ta có \(a^4+b^4\ge2a^2.b^2\) (Bất đẳng thức Cô si với \(a^2;b^2\ge0\) )
Tương tự \(b^4+c^4\ge2b^2.c^2;a^4+c^4\ge2a^2.c^2\)
Do đó: \(a^4+b^4+c^4\ge\dfrac{2a^2b^2+2b^2c^2+2a^2c^2}{2}=a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\)(1)
Ta lại có:\(a^2b^2+b^2c^2\ge2ab^2c;b^2c^2+a^2c^2\ge2abc^2;a^2c^2+a^2b^2\ge2a^2bc\)
Nên\(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\ge a^2bc+ab^2c+abc^2=abc\left(a+b+c\right)=3abc\left(a+b+c=3,gt\right)\)
(1);(2) => \(a^4+b^4+c^4\ge3abc\) ;đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1 (*)
Giả sử: \(a^3+b^3+c^3\ge3abc\\ \Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc\ge0\\ \Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^3-3ab\left(a+b+c\right)-3c\left(a+b\right)\left(a+b+c\right)\ge0\\ \Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b+c\right)^2-ab-bc-ac\right]\ge0\\2.3\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)\ge0\\
\Leftrightarrow3\left(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac\right)\ge0\\\Leftrightarrow3\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\right]\ge0\)
Đúng mới mọi a,b,c ϵR
Vậy \(a^3+b^3+c^3\ge3abc\) và đẳng thức xảy ra khi a=b=c=(a+b+c)/3 =1(**)
Ta lại có \(a^4\ge a^3;b^4\ge b^3;c^4\ge c^3\) mà a+b+c = 3
Nên \(a^4+b^4+c^4>a^3+b^3+c^3\) (***)
Từ (*);(**);(***) ta có điều phải chứng minh và đẳng thức xảy ra khi a= b=c=1
18 tháng 4
Tôi có cách chứng minh bằng đồng bậc hóa bất đẳng thức như sau:
ta sẽ chứng minh:
\(3\left(a^4+b^4+c^4\right)>=\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
<=> \(2\left(a^4+b^4+c^4\right)>=ab\left(a^2+b^2\right)+bc\left(b^2+c^2\right)+ca\left(c^2+a^2\right)\)
mà ta có theo bất đẳng thức AMGM \(a^4+b^4>=\dfrac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}>=\dfrac{2ab\left(a^2+b^2\right)}{2}=ab\left(a^2+b^2\right)\)
làm tương tự rồi cộng lại, ta có đpcm.
O
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 12 2020
Theo nguyên lý Dirichlet, trong 3 số a;b;c luôn có 2 số cùng phía so với 0, không mất tính tổng quát, giả sử đó là a và b
\(\Rightarrow ab\ge0\)
Mặt khác do \(c\le1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1-c^2\ge0\\1-c\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow2ab\left(1-c\right)+1-c^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow2ab+1\ge2abc+c^2\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2+2ab+1\ge a^2b^2+2abc+c^2\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+c\right)^2\le\left(1+ab\right)^2\le\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\) (1)
Từ giả thiết:
\(a^2+b^2+c^2\le1+2abc\Leftrightarrow a^2b^2-2abc+c^2\le1-a^2-b^2+a^2b^2\)
\(\Leftrightarrow\left(ab-c\right)^2\le\left(1-a^2\right)\left(1-b^2\right)\) (2)
Nhân vế với vế (1) và (2):
\(\left(ab+c\right)^2\left(ab-c\right)^2\le\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1-a^2\right)\left(1-b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow1+2a^2b^2c^2\ge a^4+b^4+c^4\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi 1 số bằng 1 và 2 số bằng nhau
NA
0
S
13 tháng 9 2017
Từ a + b + c =0 => -a = -(b + c) => a2 = (b + c)2
<=> a2 - b2 - c2 = 2bc
<=> (a2 - b2 - c2)2 = 4b2c2
<=> a4 + b4 + c4 - 2a2b2 + 2b2c2 - 2c2a2 = 4b2c2
<=> a4 + b4 + c4 = 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2
<=> 2(a4 + b4 + c4) = a4 + b4 + c4 + 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2
<=> 2(a4 + b4 + c4) = (a2 + b2 + c2)2
<=> a4 + b4 + c4 = \(\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2}\) (đpcm)
HT
2
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 10 2021
\(a+b+c=0\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=0\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca=-5\)
\(\Rightarrow\left(ab+bc+ca\right)^2=25\)
\(\Rightarrow\left(ab\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(ca\right)^2+2abc\left(a+b+c\right)=25\)
\(\Rightarrow\left(ab\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(ca\right)^2=25\)
\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4=\left(a^2+b^2+c^2\right)^2-2\left[\left(ab\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(ca\right)^2\right]\)
\(=10^2-2.25=50\)
OY
3 tháng 10 2021
Ta có: a+b+c=0 ⇒(a+b+c)2=0
Hay a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=0
1+2(ac+bc+ca)=0
ab+bc+ca=\(\dfrac{-1}{2}\)
\(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)=100\left(1\right)\)
\(\left(ab+bc+ca\right)^2=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+b^2ac+c^2ab+a^bc=a^2b^2+b^2c^2+c^2+a^2+2abc\left(a+b+c\right)=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=25\)
hay \(2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)=50\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) ⇒a4+b4+c4=50
\(a^4+b^4+2=a^4+b^4+1+1\ge4\sqrt[4]{a^{4\cdot}\cdot b^4\cdot1\cdot1}=4ab\left(đpcm\right)\)
Dấu ''='' xảy ra khi a = b
Áp dụng BĐT Cauchy cho 4 số không âm , ta có :
a4 + b4 + 1 + 1 ≥ \(4\sqrt[4]{a^4.b^4.1.1}=4ab\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : a = b = 1