Cho a, b, c là 3 số thực không âm và thoả mãn: \(a+b+c=1\). Chứng minh rằng: \(\sqrt{5a+4}+\sqrt{5b+4}+\sqrt{5c+4}\ge7\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
27 tháng 10 2016
bài này sai đề vì ta làm dấu bằng xảy ra khi a=b=c=\(\frac{1}{3}\).sau đó thay vào biểu thức cần cm thì sẽ thấy vô lí
15 tháng 12 2017
Vì a,b,c không âm và có tổng bằng 1 nên
\(0\le a,b,c\le\left\{{}\begin{matrix}a\left(1-a\right)\ge0\\b\left(1-b\right)\ge0\\c\left(1-c\right)\ge0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a\ge a^2\\b\ge b^2\\c\ge c^2\end{matrix}\right.\)
Suy ra \(\sqrt{5a+4}\ge\sqrt{a^2+4a+4}=\sqrt{\left(a+2\right)^2}=a+2\)
Tương tự ta có: \(\sqrt{5b+4}\ge b+2;\sqrt{5c+4}\ge c+2\)
Do đó: \(\sqrt{5a+4}+\sqrt{5b+4}+\sqrt{5c+4}\ge\left(a+b+c\right)+6=7\) (điều phải chứng minh)
TT
1
TN
23 tháng 6 2016
nè Cho a, b, c là ba số thực không âm và thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằngcăn(5a + 4) + căn(5b + 4) + căn(5c + 4) >= 7- Mạng Giáo Dục Pitago.Vn – Giải pháp giúp em học toán vững vàng!
E
1
7 tháng 3 2020
Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}a,b,c\ge0\\a+b+c=1\end{matrix}\right.\Rightarrow a\le1\Leftrightarrow a^2\le a\)
\(VT=\sqrt{4a+4.1+1}+\sqrt{4b+4.1+1}+\sqrt{4c+4.1+1}\ge\sqrt{4a^2+4a+1}+\sqrt{4b^2+4b+1}+\sqrt{4c^2+4c+1}\)
\(=2a+1+2b+1+2c+1=7\) .
Vậy đẳng thức được chứng minh . Dấu \("="\Leftrightarrow a=1;b=0;c=0\) và hoán vị
7 tháng 3 2020
À sorry mình nhầm .
\(VT=\sum\sqrt{4a+4+1}\ge\sum\sqrt{a^2+4a+4}=a+2+b+2+c+2=7\)
CM
25 tháng 1 2019
Vì a, b, c không âm và có tổng bằng 1 nên 0 ≤ a , b , c ≤ 1 ⇒ a ( 1 − a ) ≥ 0 b ( 1 − b ) ≥ 0 c ( 1 − c ) ≥ 0 ⇒ a ≥ a 2 b ≥ b 2 c ≥ c 2 ⇒ 5 a + 4 ≥ a 2 + 4 a + 4 = ( a + 2 ) 2 = a + 2 T ư ơ n g t ự : 5 b + 4 ≥ b + 2 ; 5 c + 4 ≥ c + 2 ⇒ 5 a + 4 + 5 b + 4 + 5 c + 4 ≥ ( a + b + c ) + 6 = 7 ( đ p c m )
G
8 tháng 7 2019
Ta có: \(\hept{\begin{cases}a;b;c\ge0\\a+b+c=1\end{cases}}\Rightarrow0\le a;b;c\le1\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2\le a\\b^2\le b\\c^2\le c\end{cases}}\)
\(\sqrt{5a+4}+\sqrt{5b+4}+\sqrt{5c+4}\)
\(=\sqrt{a+4a+4}+\sqrt{b+4b+4}+\sqrt{c+4c+4}\)
\(\ge\sqrt{a^2+4a+4}+\sqrt{b^2+4b+4}+\sqrt{c^2+4c+4}=a+2+b+2+c+2=7\)
\("="\Leftrightarrow a;b;c\) là hoán vị của 0;0;1
T
31 tháng 10 2019
Em nghĩ cần thêm đk a, b, c là các số thực dương
Đặt \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)=\left(x;y;z\right)\) thì x + y + z = 3; x > 0,y>0,z>0
BĐT \(\Leftrightarrow\sqrt{\frac{5}{x}+4}+\sqrt{\frac{5}{y}+4}+\sqrt{\frac{5}{z}+4}\le3\sqrt{3\left(\frac{xy+yz+zx}{xyz}\right)}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{5yz+4xyz}+\sqrt{5zx+4xyz}+\sqrt{5z+4xyz}\le3\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}\)(*)
\(VT\le\sqrt{5\left(xy+yz+zx\right)+12xyz+2\Sigma_{cyc}\sqrt{\left(5yz+4xyz\right)\left(5zx+4xyz\right)}}\)
\(\le\sqrt{15\left(xy+yz+zx\right)+36xyz}\)(áp dụng BĐT AM-GM)
Chú ý rằng: \(xyz\le\frac{\left(xy+yz+zx\right)\left(x+y+z\right)}{9}\)
Từ đó \(VT\le\sqrt{15\left(xy+yz+zx\right)+4\left(xy+yz+zx\right)\left(x+y+z\right)}\)
\(=3\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}=VP_{\text{(*)}}\)
Ta có đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Is that true?
1 tháng 11 2019
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(3=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\Rightarrow a+b+c\ge3\)
Và
\(VT^2=\left(\sqrt{5a+4}+\sqrt{5b+4}+\sqrt{5c+4}\right)^2\)
\(\le\left(5a+4+5b+4+5c+4\right)\left(1+1+1\right)\)
\(\Leftrightarrow VT^2\le15\left(a+b+c\right)+36\)
Mà \(3\le a+b+c\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow VT^2\le15\left(a+b+c\right)+12\left(a+b+c\right)=27\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow VT\le3\sqrt{3\left(a+b+c\right)}\)
Ta có đpcm
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=1\)
\(a;b;c\ge0;a+b+c=1\Rightarrow a;b;c\le1\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2\le a\\b^2\le b\\c^2\le c\end{matrix}\right.\)
\(\sqrt{5a+4}+\sqrt{5b+4}+\sqrt{5c+4}\)
\(=\sqrt{a+4a+4}+\sqrt{b+4b+4}+\sqrt{c+4c+4}\)
\(\ge\sqrt{a^2+4a+4}+\sqrt{b^2+4b+4}+\sqrt{c^2+4c+4}=\sqrt{\left(a+2\right)^2}+\sqrt{\left(b+2\right)^2}+\sqrt{\left(c+2\right)^2}\)
\(=a+b+c+2+2+2=7\)
\("="\Leftrightarrow a;b;c\) là hoán vị của (0;0;1)
sao a bình phương lại nhỏ hơn hoặc bằng a