Cho hình vuông ABCD. Qua A vẽ 2 đường thẳng vuông góc với nhau lần lượt cắt BC tại P và R, cắt CD tại Q và S a) CM: ΔAQR, ΔAPS cân b) QR cắt PS tại H. Biết M và N là trung điểm của QR và PS. CM tứ g...

Cho hình vuông ABCD. Qua A vẽ 2 đường thẳng vuông góc với nhau lần lượt cắt BC tại P và R, cắt CD tại Q và Sa) CM: ΔAQR, ΔAPS cânb) QR cắt PS tại H. Biết M và N là trung điểm của QR và PS. CM tứ giác AMHN là hình chữ nhậtc) CM: P là trực tâm ΔSQRđ) CM: MN là đường trung trực của AC e) CM: 4 điểm M, Đ, N, B thẳng...

0

TT

Trần Tuấn Anh

10 tháng 5 2018

1

KT

Không Tên

10 tháng 5 2018

a) Xét \(\Delta RAB\)và \(\Delta QAD\)có:

\(\widehat{RAB}=\widehat{QAD}\) (cùng phụ với góc BAQ)

\(AB=AD\) (gt)

\(\widehat{RBA}=\widehat{QDA}=90^0\)

suy ra: \(\Delta RAB=\Delta QAD\) (g.c.g)

\(\Rightarrow\) \(AR=AQ\)

\(\Rightarrow\) \(\Delta AQR\)vuông cân tại A

chứng minh tương tự được: \(\Delta APS\)vuông cân tại A

b) \(\Delta AQR\)cân tại A, AM là trung tuyến => AM đồng thời là đường cao

\(\Rightarrow\)\(\widehat{AMH}=90^0\) (1)

\(\Delta ASP\)cân tại A, AN là trung tuyến => AN đồng thời là đường cao

\(\Rightarrow\)\(\widehat{ANH}=90^0\) (2)

\(\Delta RSP\) có \(PA\perp RS;\) \(SC\perp RP;\) \(PA\Omega SC=Q\)

\(\Rightarrow\)\(Q\)là trực tâm \(\Delta RSP\)

\(\Rightarrow\)\(RQ\perp PS\)

hay \(RH\perp PS\)\(\Rightarrow\)\(\widehat{RHS}=90^0\) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra \(AMHN\)là hình chữ nhật

c) RC là đường cao \(\Delta SQR\)

SH là đường cao \(\Delta SQR\)

mà \(RC\Omega SH=P\)

\(\Rightarrow\)P là trực tâm \(\Delta SQR\)

d) \(\Delta ARQ\) vuông tại A có AM là trung tuyến

\(\Rightarrow\)\(AM=\frac{1}{2}RQ\)

\(\Delta RCQ\) vuông tại C có CM là trung tuyến

\(\Rightarrow\)\(CM=\frac{1}{2}RQ\)

suy ra: \(AM=CM\)

\(\Rightarrow\)\(M\)thuộc trung trực AC

chứng minh tương tự đc: N thuộc trung trực AC

suy ra: MN là trung trực AC

e) Ta có: MN là trung trực AC

BD là trung trực AC (do ABCD là hình vuông)

=> M, B, N, D thẳng hàng

p/s: hình tự vẽ

Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm R. Tia AR cắt tia DC tại S. Đường thẳng đi qua A vuông góc với AR cắt tia CB tại P, cắt tia CD tại Q . QR cắt PS tại H. M và N lần lượt là trung điểm của QR và PSa) CM: tam giác AQR và APS là các tam giác vuông cânb) CM: tứ giác AMHN là hình chữ nhậtc) CM: P là trực tâm tam giác SQRd) CM: MN là trung trực của ACe) CM: M; B; N; D thẳng...

N

Nhok_baobinh

1 tháng 12 2017

1

NT

Nguyễn Tất Đạt

1 tháng 12 2017

a) Ta có: ^BAR+^DAR=^BAD=90⁰ (1)

^DAQ+^DAR=90⁰ (Do PQ vuông góc AR) (2)

Từ (1) và (2) => ^BAR=^DAQ

Xét \(\Delta\)ABR và \(\Delta\)ADQ:

^ABR=^ADQ=90⁰

AB=AD => \(\Delta\)ABR=\(\Delta\)ADQ (g.c.g)

^BAR=^DAQ

=> AR=AQ (2 cạnh tương ứng) . Xét tam giác AQR:

AR=AQ, ^QAR=90⁰ => \(\Delta\)AQR là tam giác vuông cân tại A.

Tương tự: \(\Delta\)ADS=\(\Delta\)ABP (g.c.g)

=> AS=AP, ^PAS=90⁰ => \(\Delta\)APS vuông cân tại A.

b) \(\Delta\)AQR vuông cân tại A, M là trung điểm của QR => AM vuông góc QR (3)

Tương tự: AN vuông góc với PS (4)

Lại có: AM là phân giác của ^QAR (Do \(\Delta\)AQR...) => ^MAR=45⁰

AN là phân giác của ^PAS => ^SAN=45⁰

=> ^MAR+^SAN=^MAN=90⁰ (5)

Từ (3), (4) và (5) => Tứ giác AMHN là hình chữ nhật (đpcm)

c) Vì tứ giác AMHN là hcn => ^MHN=90⁰ => MH vuông góc với PS hay QH vuông góc với PS

Xét \(\Delta\)SQR: PQ vuông góc RS tại A, PS vuông góc QR tại H

=> P là trực tâm của tam giác SQR (đpcm).

d) Ta thấy \(\Delta\)PCS vuông tại C (PC vuông góc QS), N là trung điểm của PS => CN=PN=SN.

Lại có: Tam giác APS vuông cân tại A, N là trung điểm PS => AN=PN=SN

=> CN=AN => N nằm trên đường trung trực của AC (6)

Tương tự: Tam giác QCR vuông tại C, M là trung điểm QR => CM=QM=RM

Tam giác AQR vuông cân A, M là trung điểm QR => AM=QM=RM

=> CM=AM => M nằm trên đường trung trực của AC (7)

Từ (6) và (7) => MN là trung trực của AC (đpcm). (8)

e) Xét hình vuông ABCD: 2 đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường

=> BD là trung trực của AC (9)

Từ (8) và (9) => M;B;N;D thẳng hàng (đpcm).

NQ

Nguyễn Quốc Viễn

17 tháng 10 2015

Cho hình vuông ABCD. Qua A kẽ hai đường thẳng vuông góc với nhau lần lượt cắt BC tại P và R, cắt CD tại Q và S.

a) chứng minh tam giác AQR và tam giác APS là hai tam giác cân.

b) QR cắt PS tại H; M, N là trung điểm của QR và PS. Chứng Minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật.

c)Chứng minh P là trực tâm của AC.

d) Chứng minh bốn điểm M,B,N,D thẳng hàng

#Toán lớp 9

1

TN

Trần Ngọc Dũng

20 tháng 2 2021

Fuck. Fuck. Fuck. Fuck

Câu 2: cho hình vuông ABCD. Qua A kẻ hai đường thẳng vuông góc với nhau lần lượt cắt BC tại P và R, cắt CD tại Q và S. a, chứng minh tam giác AQR và tam giác APS là tam giác cân.b, QR cắt PS tại H; M,N là trung điểm của QR và PS. chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật.c, chứng minh P là trực tâm của tam giác SQRd, MN là đường trung trực của AC.e, chứng minh bốn điểm M,B,N,D thẳng...

TV

Thu Vân

1 tháng 12 2016

1

NH

Nguyễn Hoàng Bảo Nhi

30 tháng 4 2020

a) Xét tam giác vuông ABR và ADQ có:

AB = AD (gt)

Góc BAR + góc BAP = 90 độ

Góc DAQ + góc BAP = 90 độ

=> Góc BAR = Góc DAQ

=> Tam giác vuông ABR = tam giác vuông ADQ (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

=> AR = AQ (2 cạnh tương ứng)

=> Tam giác AQR cân tại A.

CMTT ta có tam giác ADS = tam giác ABP

=> AS = AP => Tam giác APS cân tại A.

b) Tam giác AQR cân tại A => Trung tuyến AM đồng thời là đường cao.

=> AM vuông góc với QR => Góc AMH = 90 độ

Tương tự: Tam giác APS cân tại A => Trung tuyến AN đồng thời là đường cao.

=> AN vuông góc với SP => góc ANP = 90 độ hay góc ANH= 90 độ.

Tam giác AQR vuông cân tại A => Góc AQR = góc ARQ = 45 độ => Góc PQH = 45 độ.

Tam giác APS vuông cân tại A => góc ASP = góc APS = 45 độ => góc QPH = 45 độ (đối đỉnh).

Xét tam giác PHQ có: Góc PQH + góc QPH = 45 độ + 45 độ = 90 độ

=> Tam giác PHQ vuông cân tại H => PH vuông góc với PQ

=> góc NHM = 90 độ

Xét tứ giác AMHN có: Góc AMH = góc ANH = góc NHM = 90 độ

=> AMHN là hình chữ nhật (dhnb)

c) Xét tam giác SQR có:

BC vuông góc CD => RC vuông góc SQ => RC là đường cao.

AP vuông góc AR => QA vuông góc RS => QA là đường cao.

Mà RC cắt QA tại P

Vậy P là trực tâm tam giác SQR.

d) Tam giác ANP vuông tại A có trung tuyến AN => AN = SP/2

Tam giác CSP vuông tại C có trung tuyến CN => CN = SP/2

=> AN = CN => N thuộc trung trực của AC.

CMTT ta có MA = MC => M thuộc trung trực của AC.

Vậy MN là trung trực của AC.

e) Ta có BA = BC (gt) => B thuộc trung trực của AC.

Mà MN là trung trực của AC (cmt) => B thuộc MN

Tương tự DA = DC (gt) => D thuộc trung trực của AC.

Mà MN là trung trực của AC (cmt) => D thuộc MN

Vậy M, B, N, D thẳng hàng.

Đúng(1)

MT

Minh Tuấn Phạm

29 tháng 1 2018

Cho hình vuông ABCD. Qua A vẽ 2 đường thẳng vuông góc với nhau, cắt BC tại Q và R, cắt CD tại P và S.

a) Tam giác AQR và APS là tam giác cân.

b) QR cắt PS tại H. M, N là trung điểm của QR và PS.

C/m: AMHN là hình chữ nhật.

c) P là trực tâm của tam giác SQR.

d) MN là trung trực của AC.

e) M, B, N, D thẳng hàng.

0

PL

PHAM LE HOANG NGA

27 tháng 6 2015

Qua đỉnh A của hình vuông ABCD ta kẻ 2 đường thẳng Ax,Ay vuong goc voi nhau.Ax cắt cạnh BC tại điểm P và cắt tia đối của tia CD tại điểm Q .Ay cắt tỉa đối BC tại điểm R và cắt tia đối của tia DC tại điểm S

Chứng minh tam giác APS,AQR là các tam giác cân

Gọi H LÀ GIAO ĐIỂM CỦA QR va PS .M,N là trung điểm của QR và PS Chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật

0

LD

Luân Đào

27 tháng 11 2018

Cho hình vuông ABCD. Từ A vẽ tia Ax cắt BC tại R và DC tại S. Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với Ax cắt BC và CD lần lượt tại P và Q. QR cắt PS tại H. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của QR và PS. Chứng minh bốn điểm D, M, B, N thẳng hàng

2

LD

Luân Đào

27 tháng 11 2018

Trần Hùng Luyện Nguyễn Thanh Hằng DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG Nguyễn Việt Lâm tran nguyen bao quan saint suppapong udomkaewkanjana Dương Nguyễn

LD

Luân Đào

27 tháng 11 2018

E làm ra rồi. Cảm ơn mọi người

BA

bababa ânnnanana

18 tháng 11 2018

Cho hình vuông ABCD. Từ A kẻ 2 đường thẳng vuông góc với nhau lần lượt cắt BC tại P và R, cắt CD tại Q và S. QR cắt PS tại H, M, N lần lượt là trung điểm của QR và PS.

CMR MN là đường trung trực của AC

Bài 13: Qua đỉnh A của hình vuông ABCD ta kẻ hai đường thẳng Ax, Ay vuông gócvới nhau. Ax cắt cạnh BC tại điểm P và cắt tia đối của tia CD tại điểm Q. Ay cắt tiađối của tia BC tại điểm R và cắt tia đối của tia DC tại điểm S.a) Chứng minh các tam giác APS, AQR là các tam giác cân.b) Gọi H là giao điểm của QR và PS; M, N theo thứ tự là trung điểm của QR, PS.Chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ...

0

NT

Nguyễn Thuỳ Linh

5 tháng 3 2020