[HÌNH HỌC CHUYÊN TOÁN 2021]
Nhằm hỗ trợ các bạn trong việc ôn thi chuyên toán (đặc biệt về mảng hình học), sau khi thảo luận với các admin của page Cuộc thi Trí tuệ VICE, mình xin phép lập ra chuyên mục [Hình học chuyên toán 2021]
Trả lời đúng và hay (không copy) sẽ được nhận 1-2GP/câu trả lời nha ^^
Các bạn ơi, đừng quên like/share bài viết của page và mời bạn bè thích page để nhận được những phần quà hấp dẫn của page nha. Ngoài ra các bạn có thể gửi những bài toán hay về cho page để được tính điểm xếp hạng nè.
Câu 1.
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và $AB<AC.$ Vẽ đường cao AH, đường tròn đường kính HB cắt AB tại D và đường tròn đường kính HC cắt AC tại E.
a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp.
b) Gọi I là giao của DE và BC. Chứng minh $IH^2=ID\cdot IE.$
c) Gọi $M,N$ lần lượt là giao của DE với đường tròn đường kính HB và đường tròn đường kính HC. Chứng minh giao điểm hai đường thẳng BM và CN năm trên đường thẳng AH.
Câu 2.
Cho tam giác nhọn ABC không cân có $AB<AC,$ trực tâm $H$ và đường trung tuyến AM. Gọi K là hình chiếu vuông góc của $H$ lên $AM,$ D là điểm đối xứng của $A$ qua $M$ và $L$ là điểm đối xứng của $K$ qua BC.
a) Chứng minh các tứ giác BCKH và ABLC nội tiếp.
b) Chứng minh $\angle LAB=\angle MAC.$
c) Gọi $I$ là hình chiếu vuông góc của $H$ lên $AL, X$ là giao của $AL$ và $BC.$ Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác $BHC$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $IXM$ tiếp xúc với nhau.
Câu 3.
Cho tam giác ABC là tam giác nhọn, không cân, có I là tâm đường tròn nội tiếp. Hai đường thẳng AI và BC cắt nhau tại điểm D. Gọi E, F lần lượt là điểm đối xứng của D qua các đường thẳng IB và IC.
a) Chứng minh EF//BC
b) Gọi M, N, J lần lượt là trung điểm $DE,DF,EF.$ Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEM và tam giác AFN cắt nhau tại điểm thứ hai là P. Chứng minh $M,P,N,J$ đồng viên.
c) Chứng minh ba điểm $A,P,J$ thẳng hàng.
Ps. Em mượn hình của cô @Đỗ Quyên ạ.
làm kỷ niệm bạn câu 1 (làm chân phương)
\(M=\left|x+1\right|+2\left|x-5\right|+\left|2x-7\right|+\left|\dfrac{x-11}{2}\right|\)
\(2M=\left|2x+2\right|+\left|4x-14\right|+\left|4x-20\right|+\left|x-11\right|\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x< -1;M_1=\left(-2x-2\right)+\left(-4x+14\right)+\left(-4x+20\right)+\left(-x+11\right)=-11x+43\\-1\le x< \dfrac{7}{2};M_2=\left(2x+2\right)+\left(-4x+14\right)+\left(-4x+20\right)+\left(-x+11\right)=-7x+47\\\dfrac{7}{2}\le x< 5;M_3=\left(2x+2\right)+\left(4x-14\right)+\left(-4x+20\right)+\left(-x+11\right)=x+19\\5\le x< 11;M_4=\left(2x+2\right)+\left(4x-14\right)+\left(4x-20\right)+\left(-x+11\right)=9x-21\end{matrix}\right.\)
\(11\le x;M_5=\left(2x+2\right)+\left(4x-14\right)+\left(4x-20\right)+\left(x-11\right)=11x-43\)
Min =Min[M1;M2;M3;M4;M5]
M1 ; M2 không có min
min M3 =M(7/2) =7/2+19 =45/2
min M4 =M(5) =9.5 -21 =24
Min M5 =M(11) =11.11-43=78
=> GTNN M =\(2.M_3=45\)
Ta chứng minh \(1^3+2^3+...+n^3=\left(1+2+..+n\right)^2\)
Đặt \(A=1^3+2^3+...+n^3\)
Với n=1\(\Rightarrow A\) đúng
Giả sử n=k đúng
\(\Rightarrow A=\left(1+2+...+k\right)^2\)
Cần cm \(n=k+1\) đúng
Thật vậy ta có:\(A=1^3+2^3+...+k^3+\left(k+1\right)^3\)
\(A=\left(1+2+...+k\right)^2+\left(k+1\right)^3\)(1)
Cần cm:\(\left(k+1\right)^3=2\left(k+1\right)\left(1+2+...+k\right)+\left(k+1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(k+1\right)^2\left(k+1-1\right)=2\left(k+1\right)\cdot\dfrac{k\left(k+1\right)}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(k+1\right)^2k=\left(k+1\right)^2k\)(luôn đúng)
\(\Rightarrow\left(1\right)\) đúng \(\Rightarrowđpcm\)
Vậy \(1^3+2^3+...+n^3=\left(1+2+...+n\right)^2\)