Question

[Mashiro Shiina]

Chuyên mục: Toán không hay mà vẫn có thưởng!!!

1) Cho \(x;y\in R\) .Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức:\(M=\left|x+1\right|+2\left|x-5\right|+\left|2x-7\right|+\left|\dfrac{x-11}{2}\right|\)

2) Tính: \(1^3+2^3+...+n^3\)

3) Cho tam giác ABC,đường cao AH. Trên 1 nửa mặt phẳng chứa điểm A bờ là đường thẳng BC lấy 2 điểm D và E sao cho

\(BD\perp BA;BD=BA\) và \(CE\perp CA;CE=CA\).Gọi t là giaio điểm BE và CD. Chứng minh A;T;H thẳng hàng

Answer 1

[ngonhuminh]

làm kỷ niệm bạn câu 1 (làm chân phương)

\(M=\left|x+1\right|+2\left|x-5\right|+\left|2x-7\right|+\left|\dfrac{x-11}{2}\right|\)

\(2M=\left|2x+2\right|+\left|4x-14\right|+\left|4x-20\right|+\left|x-11\right|\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x< -1;M_1=\left(-2x-2\right)+\left(-4x+14\right)+\left(-4x+20\right)+\left(-x+11\right)=-11x+43\\-1\le x< \dfrac{7}{2};M_2=\left(2x+2\right)+\left(-4x+14\right)+\left(-4x+20\right)+\left(-x+11\right)=-7x+47\\\dfrac{7}{2}\le x< 5;M_3=\left(2x+2\right)+\left(4x-14\right)+\left(-4x+20\right)+\left(-x+11\right)=x+19\\5\le x< 11;M_4=\left(2x+2\right)+\left(4x-14\right)+\left(4x-20\right)+\left(-x+11\right)=9x-21\end{matrix}\right.\)

\(11\le x;M_5=\left(2x+2\right)+\left(4x-14\right)+\left(4x-20\right)+\left(x-11\right)=11x-43\)

Min =Min[M1;M2;M3;M4;M5]

M1 ; M2 không có min

min M3 =M(7/2) =7/2+19 =45/2

min M4 =M(5) =9.5 -21 =24

Min M5 =M(11) =11.11-43=78

=> GTNN M =\(2.M_3=45\)

Answer 2

[Phạm Nguyễn Tất Đạt]

Ta chứng minh \(1^3+2^3+...+n^3=\left(1+2+..+n\right)^2\)

Đặt \(A=1^3+2^3+...+n^3\)

Với n=1\(\Rightarrow A\) đúng

Giả sử n=k đúng

\(\Rightarrow A=\left(1+2+...+k\right)^2\)

Cần cm \(n=k+1\) đúng

Thật vậy ta có:\(A=1^3+2^3+...+k^3+\left(k+1\right)^3\)

\(A=\left(1+2+...+k\right)^2+\left(k+1\right)^3\)(1)

Cần cm:\(\left(k+1\right)^3=2\left(k+1\right)\left(1+2+...+k\right)+\left(k+1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(k+1\right)^2\left(k+1-1\right)=2\left(k+1\right)\cdot\dfrac{k\left(k+1\right)}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(k+1\right)^2k=\left(k+1\right)^2k\)(luôn đúng)

\(\Rightarrow\left(1\right)\) đúng \(\Rightarrowđpcm\)

Vậy \(1^3+2^3+...+n^3=\left(1+2+...+n\right)^2\)