K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

18 tháng 4 2023

Ta có \(\sqrt{a-1}+\dfrac{1}{\sqrt{a-1}}\) \(=\sqrt{a-1}+\dfrac{1}{4\sqrt{a-1}}+\dfrac{3}{4\sqrt{a-1}}\) \(\ge2\sqrt{\sqrt{a-1}.\dfrac{1}{4\sqrt{a-1}}}+\dfrac{3}{4\sqrt{a-1}}\) \(=1+\dfrac{3}{4\sqrt{a-1}}\).

Lập 2 BĐT tương tự rồi cộng vế theo vế, ta có

\(VT\ge3+\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{1}{\sqrt{a-1}}+\dfrac{1}{\sqrt{b-1}}+\dfrac{1}{\sqrt{c-1}}\right)\)

\(\ge3+\dfrac{3}{4}.\dfrac{9}{\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1}}\) 

\(\ge3+\dfrac{3}{4}.\dfrac{9}{\dfrac{3}{2}}\) \(=\dfrac{15}{2}\)

ĐTXR \(\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{5}{4}\). Ta có đpcm

18 tháng 4 2023

Có \(\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1}+\dfrac{1}{\sqrt{a-1}}+\dfrac{1}{\sqrt{b-1}}+\dfrac{1}{\sqrt{c-1}}\ge\dfrac{15}{2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\sqrt{a-1}}+\dfrac{1}{\sqrt{b-1}}+\dfrac{1}{\sqrt{c-1}}\ge\dfrac{15}{2}-\left(\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1}\right)\ge6\) (1)

Ta chứng minh (1) đúng 

Áp dụng bất đẳng thức Schwarz : 

\(\dfrac{1}{\sqrt{a-1}}+\dfrac{1}{\sqrt{b-1}}+\dfrac{1}{\sqrt{c-1}}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1}}\ge\dfrac{9}{\dfrac{3}{2}}=6\)Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{a-1}=\sqrt{b-1}=\sqrt{c-1}\\\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1}=\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\) 

\(\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{5}{4}\)(tm) 

 

b) Ta có: \(\sqrt{\dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}}+\sqrt{\dfrac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}}\)

\(=\sqrt{\dfrac{\left(3+\sqrt{5}\right)^2}{\left(3-\sqrt{5}\right)\left(3+\sqrt{5}\right)}}+\sqrt{\dfrac{\left(3-\sqrt{5}\right)^2}{\left(3-\sqrt{5}\right)\left(3+\sqrt{5}\right)}}\)

\(=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}+\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\)

\(=\dfrac{3+3}{2}=\dfrac{6}{2}=3\)

NV
26 tháng 1 2019

\(A>\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}+\dfrac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{7}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{2024}+\sqrt{2025}}\)

\(\Rightarrow2A>\dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\dfrac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{2024}+\sqrt{2025}}\)

\(\Rightarrow2A>\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+...+\sqrt{2025}-\sqrt{2024}\)

\(\Rightarrow2A>\sqrt{2025}-\sqrt{1}=44\)

\(\Rightarrow A>22\) (đpcm)

5 tháng 7 2017

\(A=\dfrac{1}{\sqrt{7-\sqrt{24}}+1}-\dfrac{1}{\sqrt{7+\sqrt{24}}+1}\)

\(=\dfrac{\sqrt{7-2\sqrt{6}}-1}{7-2\sqrt{6}-1}-\dfrac{\sqrt{7+2\sqrt{6}}-1}{7+2\sqrt{6}-1}\)

\(=\dfrac{\sqrt{\left(\sqrt{6}-1\right)^2}-1}{6-2\sqrt{6}}-\dfrac{\sqrt{\left(\sqrt{6}+1\right)^2}-1}{6+2\sqrt{6}}\)

\(=\dfrac{\sqrt{6}-2}{\sqrt{6}\left(\sqrt{6}-2\right)}-\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}\left(\sqrt{6}+2\right)}\)

\(=\dfrac{1}{\sqrt{6}}-\dfrac{1}{\sqrt{6}+2}=\dfrac{\sqrt{6}+2-\sqrt{6}}{\sqrt{6}\left(\sqrt{6}+2\right)}\)

\(=\dfrac{2}{\sqrt{12}\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}=\dfrac{2\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}{2\sqrt{3}\left(3-2\right)}=\dfrac{3-\sqrt{6}}{3}\)

5 tháng 7 2017

\(5-2\sqrt{6}=\left(\sqrt{2}\right)^2-2\times\sqrt{2}\times\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^2=\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^2\)

\(7+2\sqrt{10}=\left(\sqrt{2}\right)^2+2\times\sqrt{2}\times\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^2=\left(\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)^2\)

\(8-2\sqrt{15}=\left(\sqrt{5}\right)^3-2\times\sqrt{5}\times\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^2=\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^2\)

\(B=\dfrac{2}{\sqrt{8-2\sqrt{15}}}-\dfrac{1}{\sqrt{5-2\sqrt{6}}}-\dfrac{3}{\sqrt{7+2\sqrt{10}}}\)

\(=\dfrac{2}{\sqrt{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^2}}-\dfrac{1}{\sqrt{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^2}}-\dfrac{3}{\sqrt{\left(\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)^2}}\)

\(=\dfrac{2\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}{5-3}-\dfrac{1\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}{3-2}-\dfrac{3\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)}{5-2}\)

\(=\sqrt{5}+\sqrt{3}-\sqrt{3}-\sqrt{2}-\sqrt{5}+\sqrt{2}=0\)

15 tháng 1 2021

Đặt \(\dfrac{1}{x+1}=a,\dfrac{1}{y+1}=b,\dfrac{1}{z+1}=c\Rightarrow a,b,c>0;a+b+c=1.\)

\(x=\dfrac{1}{a}-1\)

Cần chứng minh: \(\sum\sqrt{\dfrac{1}{a}-1}\le\dfrac{3}{2}\sqrt{\left(\dfrac{1}{a}-1\right)\left(\dfrac{1}{b}-1\right)\left(\dfrac{1}{c}-1\right)}\)

Hay \(\sum\sqrt{\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{a+b+c}}\le\dfrac{3}{2}\sqrt{\prod\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{a+b+c}\right)}\)

Hay là \(\sum\sqrt{\dfrac{b+c}{a\left(a+b+c\right)}}\le\dfrac{3}{2}\sqrt{\prod\dfrac{\left(b+c\right)}{a\left(a+b+c\right)}}\)

Tương đương: \(\sum\sqrt{\dfrac{b+c}{a}}\le\dfrac{3}{2}\sqrt{\prod\dfrac{\left(b+c\right)}{a}}\)

\(\left[\sum\left(b+c\right)\left\{a+2\left(b+c\right)\right\}\right]\left[\sum\dfrac{1}{a\left\{a+2\left(b+c\right)\right\}}\right]\ge\left[\sum\sqrt{\dfrac{b+c}{a}}\right]^2\)

Từ đây cần chứng minh:

\(\dfrac{9}{4}\prod\dfrac{\left(b+c\right)}{a}\ge\left[\sum\left(b+c\right)\left\{a+2\left(b+c\right)\right\}\right]\left[\sum\dfrac{1}{a\left\{a+2\left(b+c\right)\right\}}\right]\)

Còn lại bạn tự làm hoặc không để tối rảnh mình làm.

 

15 tháng 1 2021

Do hoc24.vn không cho cập nhật câu trả lời nữa nên mình đăng tiếp:

Thực hiện thay thế \(\left(a,b,c\right)\rightarrow\left(s-a',s-b',s-c'\right)\) với $a',b',c'$ là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}a' + b' + c' = 2s\\a'b' + b'c' + c'a' = {s^2} + 4Rr + {r^2}\\a'b'c' = 4sRr\end{array} \right.$

Bất đẳng thức quy về: 

$${\dfrac { \left( 4\,R-24\,r \right) {s}^{4}+r \left( 72\,{R}^{2}+41\,Rr+8\,{r}^{2} \right) {s}^{2}+2\,{r}^{2} \left( 4\,R+r \right) ^{3}}{r{s}^{2} \left( 4\,{s}^{2}+r \left( 8\,R+r \right)  \right) }}\geqslant 0$$

\( \Leftrightarrow \left( {4{\mkern 1mu} R - 24{\mkern 1mu} r} \right){s^4} + r\left( {72{\mkern 1mu} {R^2} + 41{\mkern 1mu} Rr + 8{\mkern 1mu} {r^2}} \right){s^2} + 2{\mkern 1mu} {r^2}{\left( {4{\mkern 1mu} R + r} \right)^3} \geqslant 0\)

Hay là \({s^2}\left( {R - 2{\mkern 1mu} r} \right)\left( {9{\mkern 1mu} {r^2} + 4{\mkern 1mu} {s^2}} \right) + r\left[ {10{\mkern 1mu} {s^2}\left( {4{\mkern 1mu} {R^2} + 4{\mkern 1mu} Rr + 3{\mkern 1mu} {r^2} - {s^2}} \right) + \left( {8{\mkern 1mu} Rr + 2{\mkern 1mu} {r^2} + 2{\mkern 1mu} {s^2}} \right)\left( {16{\mkern 1mu} {R^2} + 8{\mkern 1mu} Rr + {r^2} - 3{\mkern 1mu} {s^2}} \right)} \right] \geqslant 0\)

Đây là điều hiển nhiên.

Ngoài ra phương pháp SOS, SS cũng có thể sử dụng ở đây.

 

a: \(\dfrac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}+2}\)

\(=\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{3}-2}{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^2-4}\)

\(=\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{3}-2}{8-2\sqrt{15}-4}=\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{3}-2}{4-2\sqrt{15}}\)

\(=\dfrac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}-2\right)\left(4+2\sqrt{15}\right)}{16-60}\)

\(=\dfrac{4\sqrt{5}+2\cdot\sqrt{75}-4\sqrt{3}-2\sqrt{45}-8-4\sqrt{15}}{-44}\)

\(=\dfrac{-2\sqrt{5}+6\sqrt{3}-8-4\sqrt{15}}{-44}\)

\(=\dfrac{\sqrt{5}-3\sqrt{3}+4+2\sqrt{15}}{22}\)

b: Sửa đề: \(A=\dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{24}+\sqrt{25}}\)

\(=\dfrac{-1+\sqrt{2}}{2-1}+\dfrac{-\sqrt{2}+\sqrt{3}}{3-2}+...+\dfrac{-\sqrt{24}+\sqrt{25}}{25-24}\)

\(=-1+\sqrt{2}-\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\left(-\sqrt{24}\right)+\sqrt{25}\)

=5-1

=4