Cho hai đường tròn (O; R) và (O' ; R) tiếp xúc ngoài nhau tại M. Hai đường tròn (O) và (O') cùng tiếp xúc trong với đường tròn lớn (O''; R'') lần lượt tại E và F. Tính bán kính R" biết chu vi tam giác OO'O" là 20cm.
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
(O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài với nhau
⇒ OO’ = R + r.
O’A ⊥ BP, OB ⊥ BP ⇒ O’A // OB
⇒ ΔPAO’ ΔPBO
⇒ OB = 2.O'A hay R = 2.r
và OP = 2.O’P ⇒ O’P = OO’ = R + r = 3.r
ΔO’AP vuông tại A nên:
O ’ P 2 = O ’ A 2 + A P 2
⇔ ( 3 r ) 2 = r 2 + 4 2 ⇔ 8 r 2 = 16 ⇔ r 2 = 2
Diện tích hình tròn (O’; r) là: S = π . r 2 = 2 π ( c m 2 ) .
(O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài với nhau
⇒ OO’ = R + r.
O’A ⊥ BP, OB ⊥ BP ⇒ O’A // OB
⇒ ΔPAO’ ΔPBO
⇒ OB = 2.O'A hay R = 2.r
và OP = 2.O’P ⇒ O’P = OO’ = R + r = 3.r
ΔO’AP vuông tại A nên: O ' P 2 = O ' A 2 + A P 2
⇔ ( 3 r ) 2 = r 2 + 4 2 ⇔ 8 r 2 = 16 ⇔ r 2 = 2
Diện tích hình tròn (O’; r) là: S = π · r 2 = 2 π cm 2
Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; r) tiếp xúc ngoài (R > r). Hai tiếp tuyến chung AB và A'B' của hai đường tròn (o),(O') cắt nhau tại P(A và A' thuộc đường tròn (O'), B và B' thuộc đường tròn (O)). Biết PA = AB = 4 cm. Tính diện tích hình tròn (O').
Hướng dẫn làm bài:
Vì AB là tiếp tuyến chung của (O) và (O’) nên OB ⊥ AB và O’A ⊥ AB
Xét hai tam giác vuông OPB và O’AP, ta có:
ˆA=ˆB=900A^=B^=900
ˆP1P1^ chung
Vậy ΔOBP ~ ∆ O’AP
⇒rR=PO′PO=PAPB=48=12⇒R=2r⇒rR=PO′PO=PAPB=48=12⇒R=2r
Ta có PO’ = OO’ = R + r = 3r (do AO’ là đường trung bình của ∆OBP)
Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông O’AP
O’P = O’A2 + AP2 hay (3r)2 = r2 + 42 ⇔ 9r2 = r2 + 16 ⇔ 8 r2 =16 ⇔ r2 = 2
Diện tích đường tròn (O’;r) là: S = π. r2 = π.2 = 2π (cm2)
Vì AB là tiếp tuyến chung của (O) và (O’) nên OB ⊥ AB và O’A ⊥ AB
Xét hai tam giác vuông OPB và O’AP, ta có:
chung
Vậy ΔOBP ~ ∆ O’AP
Ta có PO’ = OO’ = R + r = 3r (do AO’ là đường trung bình của ∆OBP)
Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông O’AP
O’P = O’A2 + AP2 hay (3r)2 = r2 + 42 ⇔ 9r2 = r2 + 16 ⇔ 8 r2 =16 ⇔ r2 = 2
Diện tích đường tròn (O’;r) là: S = π. r2 = π.2 = 2π (cm2)
Gọi B', C' lần lượt là giao điểm khác A của AB, AC với (O').
Do BM, CM là tiếp tuyến của (O') nên ta dễ dàng chứng minh được:
\(BM^2=BA.BB'\); \(CM^2=CA.CC'\)
\(\Rightarrow\dfrac{BM^2}{CM^2}=\dfrac{BA.BB'}{CA.CC'}\). (1)
\(\Delta AOC\sim\Delta AO'C'(g.g)\Rightarrow \frac{AC}{AC'}=\frac{AO}{AO'}\).
Tương tự, \(\frac{AB}{AB'}=\frac{AO}{AO'}\).
Do đó \(\dfrac{AB}{AB'}=\dfrac{AC}{AC'}\Rightarrow\dfrac{AB}{BB'}=\dfrac{AC}{CC'}\Rightarrow\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BB'}{CC'}\). (2)
Từ (1), (2) suy ra \(\dfrac{BM}{CM}=\dfrac{AB}{AC}\).
Theo tính chất đường phân giác đảo thì AM là đường phân giác ngoài của tam giác ABC
\(\Rightarrow\widehat{MAB}+\widehat{MAC}=180^o\Rightarrow180^o+\widehat{BAC}=2\widehat{EAC}\)
\(\Rightarrow180^o-\widehat{EAC}=\dfrac{180^o-\widehat{BAC}}{2}\). (3)
Các tứ giác FDEA, DBAC nội tiếp nên \(\widehat{FDB}=180^o-\widehat{EAC};\widehat{BDC}=180^o-\widehat{BAC}\). (4)
Từ (3), (4) suy ra \(\widehat{FDB}=\dfrac{\widehat{BDC}}{2}\) nên DF là phân giác góc BDC.