Cho x,y,z dương thỏa mãn xyz=1. GTNN của
P=\(\dfrac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}+\dfrac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}+\dfrac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{zx}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
16 tháng 1 2021
\(P\ge\dfrac{\sqrt{3\sqrt[3]{x^3y^3}}}{xy}+\dfrac{\sqrt{3\sqrt[3]{y^3z^3}}}{yz}+\dfrac{\sqrt{3\sqrt[3]{z^3x^3}}}{zx}\)
\(P\ge\sqrt{3}\left(\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{zx}}\right)\ge\sqrt{3}.3\sqrt[3]{\dfrac{1}{\sqrt{xy.yz.zx}}}=3\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
T
16 tháng 1 2021
Ta có bất đẳng thức sau \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2\ge0.\)
Do đó:
\(P=\sum\dfrac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}\ge\sum\dfrac{\sqrt{xyz+xy\left(x+y\right)}}{xy}\)
\(=\sqrt{x+y+z}\left(\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{zx}}\right)\ge\sqrt{3\sqrt[3]{xyz}}\cdot3\sqrt[3]{\dfrac{1}{\sqrt{xy}}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{yz}}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{zx}}}=3\sqrt{3}\)
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1.$
7 tháng 10 2021
\(P=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{xy}+\sqrt{x}+3}+\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{yz}+\sqrt{y}+1}+\dfrac{3\sqrt{z}}{\sqrt{zx}+3\sqrt{x}+3}\)
\(=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{xy}+\sqrt{x}+\sqrt{xyz}}+\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{yz}+\sqrt{y}+1}+\dfrac{\sqrt{xyz}\sqrt{z}}{\sqrt{zx}+\sqrt{xyz}\sqrt{z}+\sqrt{xyz}}\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt{y}+1+\sqrt{yz}}+\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{yz}+\sqrt{y}+1}+\dfrac{\sqrt{yz}}{1+\sqrt{yz}+\sqrt{y}}\)
\(=\dfrac{1+\sqrt{y}+\sqrt{yz}}{1+\sqrt{y}+\sqrt{yz}}=1\)
\(\Rightarrow\sqrt{10P-1}=\sqrt{10.1-1}=\sqrt{9}=3\)
T
22 tháng 6 2018
Ta có \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow1+x^3+y^3\ge xyz+xy\left(x+y+z\right)=xy\left(x+y+z\right)\)
Tương tự ta có
\(VT\ge\dfrac{\sqrt{xy\left(x+y+z\right)}}{xy}+\dfrac{\sqrt{yz\left(x+y+z\right)}}{yz}+\dfrac{\sqrt{zx\left(x+y+z\right)}}{zx}\)
\(=\sqrt{x+y+z}\left(\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{zx}}\right)\)
\(=\sqrt{x+y+z}.\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{\sqrt{xyz}}\)
\(\ge\sqrt{3\sqrt[3]{xyz}}.\dfrac{3\sqrt[6]{xyz}}{1}=3\sqrt{3}\)
\("="\Leftrightarrow x=y=z=1\)
29 tháng 1 2022
\(A=\dfrac{\sqrt{x^3+y^3+1}}{xy}+\dfrac{\sqrt{y^3+z^3+1}}{yz}+\dfrac{\sqrt{z^3+x^3+1}}{zx}\)
\(\dfrac{\sqrt{x^3+y^3+1}}{xy}=\dfrac{\sqrt{x^3+y^3+xyz}}{xy}\ge\dfrac{\sqrt{xy\left(x+y\right)+xyz}}{xy}=\dfrac{\sqrt{xy\left(x+y+z\right)}}{xy}\ge\dfrac{\sqrt{xy.3^3\sqrt{xyz}}}{xy}=\dfrac{\sqrt{3xy}}{xy}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{xy}}\)
\(\dfrac{\sqrt{y^3+z^3+1}}{yz}\ge\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{yz}}\)
\(\dfrac{\sqrt{z^3+x^3+1}}{zx}\ge\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{zx}}\)
\(\Rightarrow A\ge\sqrt{3}\left(\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{xz}}\right)\ge\sqrt{3}.3\sqrt[3]{\dfrac{1}{\sqrt{xy.yz.xz}}}=3\sqrt{3}.\sqrt[3]{\dfrac{1}{xyz}}=3\sqrt{3}\)
19 tháng 4 2023
\(\dfrac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}>=\sqrt{\dfrac{3}{xy}}\)
\(\dfrac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}>=\sqrt{\dfrac{3}{yz}}\)
\(\dfrac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{xz}>=\sqrt{\dfrac{3}{xz}}\)
=>\(VT>=\sqrt{3}\left(\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{xz}}\right)=3\sqrt{3}\)
SA
16 tháng 11 2018
\(A=\Sigma\dfrac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}\ge\Sigma\dfrac{\sqrt{3\sqrt[3]{1.x^3.y^3}}}{xy}\) (bđt Cô-si cho 3 số)
=> \(A\ge\Sigma\dfrac{\sqrt{3xy}}{xy}=\Sigma\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{xy}}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{xy}}.\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{yz}}.\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{zx}}}=3\sqrt{3}\) (bđt Cô-si cho 3 số)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 1
28 tháng 9 2021
Tham khảo:
Cho 3 số thức x,y,z thỏa mãn \(x\ge1;y\ge4;z\ge9\) tìm giá trị lớn nhất của biết thức Q=\(\dfrac{yz\sqrt{x-1}+zx\sqrt... - Hoc24
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 12 2021
\(x+\sqrt{3x+yz}=x+\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}=x+\sqrt{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}\ge x+\sqrt{\left(\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\right)^2}\)
\(=x+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}=\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}\le\dfrac{x}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
Tương tự:
\(\dfrac{y}{y+\sqrt{3y+zx}}\le\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\) ; \(\dfrac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le\dfrac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
Cộng vế với vế ta có đpcm
Ta xét BĐT phụ: \(1+x^3+y^3\ge xy\left(x+y+z\right)\)
\(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)+xyz-1\)
\(x^3+y^3-xy\left(x+y\right)\ge0\)
\(\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)-xy\left(x+y\right)\ge0\)
\(\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2\ge0\)( Luôn đúng, vậy BĐT phụ đúng)
\(\sum\dfrac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}\ge\sum\dfrac{\sqrt{xy\left(x+y+z\right)}}{xy}=\sqrt{x+y+z}.\left(\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{xz}}\right)\ge\sqrt{3\sqrt[3]{xyz}}.\left(3\sqrt[3]{\dfrac{1}{\sqrt{x^2y^2z^2}}}\right)=3\sqrt{3}\)
GTNN của P là \(3\sqrt{3}\Leftrightarrow x=y=z=1\)