Cho x,y là các số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = \(\left(x+2y+1\right)^2+\left(x+2y+5\right)^2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
LV
5 tháng 6 2017
Áp dụng BĐT AM-GM: \(\left(x^2-y^2\right)\left(1-x^2y^2\right)\le\frac{1}{4}\left(x^2-y^2+1-x^2y^2\right)^2=\frac{1}{4}\left(1-y^2\right)^2\left(1+x^2\right)^2\)
\(P\le\frac{1}{4}\frac{\left(1-y^2\right)^2}{\left(1+y^2\right)^2}\)
mà theo BĐT AM-GM:\(\left(1-y\right)\left(1+y\right)\le\frac{1}{4}\left(1-y+1+y\right)^2=1\)
\(\Rightarrow P\le\frac{1}{4}.\frac{1}{\left(1+y^2\right)^2}\le\frac{1}{4}.\frac{1}{1}=\frac{1}{4}\)
Dấu = xảy ra khi x=1;y=0 wait : có gì đó sai sai. số thực
KN
27 tháng 1 2021
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: \(\sqrt{x\left(2x+y\right)}=\frac{1}{\sqrt{3}}.\sqrt{3x\left(2x+y\right)}\le\frac{5x+y}{2\sqrt{3}}\)
Tương tự: \(\sqrt{y\left(2y+x\right)}\le\frac{5y+x}{2\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow\sqrt{x\left(2x+y\right)}+\sqrt{y\left(2y+x\right)}\le\frac{6\left(x+y\right)}{2\sqrt{3}}=\frac{3\left(x+y\right)}{\sqrt{3}}\)\(\Rightarrow P=\frac{x+y}{\sqrt{x\left(2x+y\right)}+\sqrt{y\left(2y+x\right)}}\ge\frac{x+y}{\frac{3}{\sqrt{3}}\left(x+y\right)}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y
C
13 tháng 1 2020
\(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\sqrt{1+x^2y^2}\)
\(\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\sqrt{1+x^2y^2}=2\sqrt{\frac{1}{xy}+xy}=2\sqrt{\frac{1}{16xy}+xy+\frac{15}{16xy}}\)
\(\ge2\sqrt{2\sqrt{\frac{1}{16xy}\cdot xy}+\frac{15}{4\left(x+y\right)^2}}=2\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{15}{4}}=\sqrt{17}\)
Dấu "=" xảy ra tai x=y=1/2
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 8 2021
\(C=\left|2x+1\right|+\left|-2y-1\right|\ge\left|2x+1-2y-1\right|=2\left|x-y\right|=4\)
\(C_{min}=4\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
9 tháng 8 2021
\(\Leftrightarrow2y^3-6y^2+7y-3=-2x\sqrt{1-x}+2\sqrt{1-x}+\sqrt{1-x}\)
\(\Leftrightarrow2\left(y^3-3y^2+3y+1\right)+y-1=2\left(1-x\right)\sqrt{1-x}+\sqrt{1-x}\)
\(\Leftrightarrow2\left(y-1\right)^3+y-1=2\left(\sqrt{1-x}\right)^3+\sqrt{1-x}\) (1)
Xét hàm \(f\left(t\right)=2t^3+t\)
\(f'\left(t\right)=6t^2+1>0\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến
Nên (1) tương đương: \(y-1=\sqrt{1-x}\Rightarrow y=1+\sqrt{1-x}\)
\(\Rightarrow P=x+2\sqrt{1-x}+2=-\left(1-x-2\sqrt{1-x}+1\right)+4=-\left(\sqrt{1-x}-1\right)^2+4\le4\)
9 tháng 8 2021
⇒ P = x + 2 √ 1 − x + 2
= − ( 1 − x − 2 √ 1 − x + 1 ) + 4
= − ( √ 1 − x − 1 ) 2 + 4 ≤ 4
Cho xin một like đi các dân chơi à.
2 tháng 3 2020
Bài 2:
Tìm GTLN: \(x^2+xy+y^2=3\Leftrightarrow xy=\left(x+y\right)^2-3\Rightarrow xy\ge-3\Rightarrow-7xy\le21\)
\(P=2\left(x^2+xy+y^2\right)-7xy\le2.3+21=27\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x+y=0\\xy=-3\end{cases}\Leftrightarrow}\orbr{\begin{cases}x=\sqrt{3},y=-\sqrt{3}\\x=-\sqrt{3},y=\sqrt{3}\end{cases}}\)
Tìm GTNN:
Chứng minh \(xy\le\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)\Rightarrow\frac{3}{2}xy\le\frac{1}{2}\left(x^2+y^2+xy\right)\)
\(\Rightarrow\frac{3}{2}xy\le\frac{3}{2}\Rightarrow xy\le1\Rightarrow-7xy\ge-7\)
\(P=2\left(x^2+xy+y^2\right)-7xy\ge2.3-7=-1\)
Chúc bạn học tốt.
16 tháng 3 2020
Làm bài 1 ha :)
Áp dụng BĐT Cô si ta có:
\(\left(1-x^3\right)+\left(1-y^3\right)+\left(1-z^3\right)\ge3\sqrt[3]{\left(1-x^3\right)\left(1-y^3\right)\left(1-z^3\right)}\)
\(\Leftrightarrow\frac{3-\left(x^3+y^3+z^3\right)}{3}\ge\sqrt[3]{\left(1-x^3\right)\left(1-y^3\right)\left(1-z^3\right)}\)
Mặt khác:\(\frac{3-\left(x^3+y^3+z^3\right)}{3}\le\frac{3-3xyz}{3}=1-xyz\)
Khi đó:
\(\left(1-xyz\right)^3\ge\left(1-x^3\right)\left(1-y^3\right)\left(1-z^3\right)\)
Giống Holder ghê vậy ta :D
Đặt \(x+2y+1=a\)
\(P=a^2+\left(a+4\right)^2=2a^2+8a+16=2\left(a+2\right)^2+8\ge8\)
dấu bằng xảy ra khi?