Bài 2: a) Cho \(a^3+b^3+c^3=3abc\). CMR: \(a+b+c=0\) hoặc \(a=b=c\)
b) Cho \(a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd\) và \(a,b,c,d>0\) . CMR: \(a=b=c=d\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NQ
0
15 tháng 8 2017
Ta có :
\(b^2=ac\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}\)
\(c^2=bd\Leftrightarrow\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{d}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{d}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a^3}{b^3}=\dfrac{b^3}{c^3}=\dfrac{c^3}{d^3}=\dfrac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}\)
Mà \(\dfrac{a^3}{b^3}=\dfrac{a}{b}.\dfrac{a}{b}.\dfrac{a}{b}=\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{c}.\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{d}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}=\dfrac{a}{d}\)
28 tháng 6 2021
`(a+b+c)^2=3(ab+bc+ca)`
`<=>a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=3(ab+bc+ca)`
`<=>a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca`
`<=>2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ca`
`<=>(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0`
`VT>=0`
Dấu "=" xảy ra khi `a=b=c`
28 tháng 6 2021
`a^3+b^3+c^3=3abc`
`<=>a^3+b^3+c^3-3abc=0`
`<=>(a+b)^3+c^3-3abc-3ab(a+b)=0`
`<=>(a+b)^3+c^3-3ab(a+b+c)=0`
`<=>(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0`
`**a+b+c=0`
`**a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca`
`<=>a=b=c`
15 tháng 4 2017
\(\left\{{}\begin{matrix}A=\left(a^4+b^4\right)\ge\dfrac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\ge\dfrac{\left[\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\right]^2}{2}\ge\dfrac{\left[\dfrac{4ab}{2}\right]^2}{2}\\B=\left(c^4+d^4\right)\ge\left(c^2+d^2\right)^2\ge\dfrac{\left[\dfrac{\left(c+d\right)^2}{2}\right]^2}{2}\ge\dfrac{\left[\dfrac{4cd}{2}\right]^2}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\left\{{}\begin{matrix}A\ge\dfrac{\left(2ab\right)^2}{2}\\B\ge\dfrac{\left(2cd\right)^2}{2}\end{matrix}\right.\)(1)
\(\left\{{}\begin{matrix}A\ge0\\B\ge0\end{matrix}\right.\)(2)
(1) và (2) \(\Rightarrow A+B\ge\dfrac{\left(2ab\right)^2+\left(2cd\right)^2}{2}\ge\dfrac{2\left(4abcd\right)}{2}=4abcd\)
đẳng thức khi a=b=c=d
15 tháng 4 2017
Ta có BĐT \(a+b\ge2\sqrt{ab}\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge\left(2\sqrt{ab}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left(a-b\right)^2=0\Rightarrow a=b\)
Vậy ta có: \(a^4+b^4\ge2\sqrt{a^4b^4}=2a^2b^2\)
\(c^4+d^4\ge2\sqrt{c^4d^4}=2c^2d^2\)
Cộng theo vế 2 BĐT trên ta có:
\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge2a^2b^2+2c^2d^2=2\left[\left(ab\right)^2+\left(cd\right)^2\right]\)
Lại có: \(\left(ab\right)^2+\left(cd\right)^2\ge2\sqrt{\left(ab\right)^2\left(cd\right)^2}=2abcd\)
\(\Rightarrow2\left[\left(ab\right)^2+\left(cd\right)^2\right]\ge2\cdot2abcd=4abcd\)
\(\Rightarrow VT=a^4+b^4+c^4+d^4\ge4abcd=VP\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a^4=b^4\\c^4=d^4\\\left(ab\right)^2=\left(cd\right)^2\end{matrix}\right.\Rightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}a=b\\c=d\\ab=cd\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow a=b=c=d\)
T
31 tháng 7 2019
b) \(\left(a+b+c\right)^2=3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\) (chuyển vế qua)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]=0\)
Do VP >=0 với mọi a, b, c. Nên để đăng thức xảy ra thì a = b = c
13 tháng 11 2017
câu 2
a^4 + b^4 + c^4 + d^4 = 4abcd
<=> \(a^4-2a^2b^2+b^4+c^4-2c^2d^2+d^4+2a^2b^2-4abcd+2b^2d^2=0\)
<=> \(\left(a^2-b^2\right)^2+\left(c^2-d^2\right)^2+2\left(ab-cd\right)^2=0\)
<=> \(\left\{{}\begin{matrix}a^2=b^2\\c^2=d^2\\ab=cd\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=c=d\)
NT
6 tháng 10 2018
Câu 2;3;4 dễ quá... bỏ qua!!
Câu 5;6 khó quá ... khỏi làm!!
dễ quá bỏ qua!!, khó quá khỏi làm!!
cứ tiêu chí mày bạn sẽ vượt qua mọi bài toán... và nhanh chóng đạt 1đ.
câu a bạn phân tích \(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ac-bc-ac\right)\)
rồi suy ra bình thường nha
\(a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd=0\Leftrightarrow a^4-2^2b^2+b^4+c^4-2c^2d^2+d^4-4abcd+2a^2b^2+2c^2d^2=\left(a^2+b^2\right)^2+\left(c^2-d^2\right)^2+2\left(ab+cd\right)^2\)