K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

13 tháng 11 2017

Lm dc hết chưa bn ơi.

13 tháng 11 2017

câu 2

a^4 + b^4 + c^4 + d^4 = 4abcd

<=> \(a^4-2a^2b^2+b^4+c^4-2c^2d^2+d^4+2a^2b^2-4abcd+2b^2d^2=0\)

<=> \(\left(a^2-b^2\right)^2+\left(c^2-d^2\right)^2+2\left(ab-cd\right)^2=0\)

<=> \(\left\{{}\begin{matrix}a^2=b^2\\c^2=d^2\\ab=cd\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=c=d\)

2 tháng 5 2021

b, Ta có \(m=a+b+c\)

          \(\Rightarrow am+bc=a\left(a+b+c\right)+bc=a\left(a+b\right)+ac+bc=\left(a+c\right)\left(a+b\right)\)

CMTT \(bm+ac=\left(b+c\right)\left(b+a\right)\);\(cm+ab=\left(c+a\right)\left(c+b\right)\)

Suy ra \(\left(am+bc\right)\left(bm+ac\right)\left(cm+ab\right)=\left(a+b\right)^2\left(a+c\right)^2\left(b+c\right)^2\)

5 tháng 8 2015

a) Ta có: (a + b + c + d)(a - b - c +d )=( (a + d) + (b + c) )( (a + d) - (b + c) )

                                                     =(a + d )- (b +c )2                             (1)

              (a - b + c - d)(a + b - c - d)=(a - d)- (b - c)2                                  (2)

Từ (1) và (2)  => a+ 2ad + d- b- 2bc - c2=a- 2ad + d- b+ 2bc - c2

4ad=4bc => ad=bc <=> \(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\)  (đpcm)

 

AH
Akai Haruma
Giáo viên
21 tháng 3 2017

Bài 1)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

\(1=(a^2+b^2)(m^2+n^2)\geq (am+bn)^2\Rightarrow -1\leq am+bn\leq 1\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\frac{a}{m}=\frac{b}{n}\) . Kết hợp với \(a^2+b^2=m^2+n^2=1\)

\(\Rightarrow \) dấu bằng xảy ra khi \(a=\pm m;b=\pm n\)

Bài 2)

Ta thấy:

\((ac-bd)^2\geq 0\Rightarrow a^2c^2+b^2d^2\geq 2abcd\Rightarrow (ac+bd)^2\geq 4abcd\)

\(\Leftrightarrow 4\geq 4cd\rightarrow cd\leq 1\Rightarrow 1-cd\geq 0\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi \(ac=bd=\pm 1\)\(cd=1\) ....

Bài 3)

Vế đầu:

\(\Leftrightarrow ab+bc+ac\leq a^2+b^2+c^2\)

Nhân $2$ và chuyển vế \(\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq 0\)

BĐT trên luôn đúng nên BĐT đầu tiên cũng đúng.

Vế sau:

\(\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)\geq 2(ab+bc+ac)\)

\(\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq 0\) (luôn đúng)

Do đó BĐT sau cũng luôn đúng với mọi số thực $a,b,c$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$

21 tháng 3 2017

\(\left\{{}\begin{matrix}m^2+n^2=1\\a^2+b^2=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)\left(m^2+n^2\right)=\left(am\right)^2+\left(an\right)^2+\left(bm\right)^2+\left(bn\right)^2=1\)\(\Leftrightarrow\left(am+bn\right)^2-\left[\left(ambn-\left(an\right)^2\right)+\left(ambn-\left(bm\right)^2\right)\right]=1\)\(\Leftrightarrow\left(am+bn\right)^2+\left[an\left(bm-an\right)\right]+\left[bm\left(an-bm\right)\right]=1\)

\(\Leftrightarrow\left(am+bn\right)^2-\left(bm-an\right)\left(an-bm\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\left(am+bn\right)^2+\left(an-bm\right)^2=1\\ \)

\(\left(an-bm\right)^2\ge0\forall_{a,b,m,n}\Rightarrow\left(am+bn\right)^2\le1\)

\(\Rightarrow-1\le\left(am+bn\right)\le1\Rightarrow dpcm\)

28 tháng 8 2016

3. abc > 0 nên trog 3 số phải có ít nhất 1 số dương. 
Vì nếu giả sử cả 3 số đều âm => abc < 0 => trái giả thiết 
Vậy nên phải có ít nhất 1 số dương 

Không mất tính tổng quát, giả sử a > 0 
mà abc > 0 => bc > 0 
Nếu b < 0, c < 0: 
=> b + c < 0 
Từ gt: a + b + c < 0 
=> b + c > - a 
=> (b + c)^2 < -a(b + c) (vì b + c < 0) 
<=> b^2 + 2bc + c^2 < -ab - ac 
<=> ab + bc + ca < -b^2 - bc - c^2 
<=> ab + bc + ca < - (b^2 + bc + c^2) 
ta có: 
b^2 + c^2 >= 0 
mà bc > 0 => b^2 + bc + c^2 > 0 
=> - (b^2 + bc + c^2) < 0 
=> ab + bc + ca < 0 (vô lý) 
trái gt: ab + bc + ca > 0 

Vậy b > 0 và c >0 
=> cả 3 số a, b, c > 0

3 tháng 5 2019

1.a, Ta có: \(\left(a+b\right)^2\ge4a>0\)

                   \(\left(b+c\right)^2\ge4b>0\)

                    \(\left(a+c\right)^2\ge4c>0\)

\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64abc\)

Mà abc=1

\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\ge8\left(đpcm\right)\)     

30 tháng 9 2018

Câu 4 : 

       Ta có : a+b+c=0

​​=> a+b=-c

Lại có : a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)

=> a3+b3+c3=(a+b)3-3ab(a+b)+c3

                    =-c3-3ab. (-c)+c3

                    =3abc

Vậy a3+b3+c3=3abc với a+b+c=0

10 tháng 2 2018

Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:

\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4\sqrt[4]{a^4b^4c^4d^4}=4abcd\)

Dấu = xảy ra khi a=b=c=d

Vậy a=b=c=d

2 tháng 5 2018

a4+b4+c4+d2>4abed

1 tháng 4 2017

Bài 1: \(a+b\ge1\). cm \(a^4+b^4\ge\dfrac{1}{8}\)

ta có : \(a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2=\dfrac{1}{2}\)(BĐT bunyakovsky)

Áp dụng BĐt bunyakovsky 1 lần nữa:

\(a^4+b^4\ge\dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)^2\ge\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{8}\)

dấu = xảy ra khi \(a=b=\dfrac{1}{2}\)

Bài 2:

Áp dụng BĐT bunyakovsky dạng đa thức và phân thức:

\(\left(\dfrac{a^3}{b^2}+\dfrac{b^3}{c^2}+\dfrac{c^3}{a^2}\right)\left(a+b+c\right)\ge\left(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\right)^2\ge\left[\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}\right]^2=\left(a+b+c\right)^2\)

do đó \(\dfrac{a^3}{b^2}+\dfrac{b^3}{c^2}+\dfrac{c^3}{a^2}\ge a+b+c\)

dấu = xảy ra khi a=b=c

1 tháng 4 2017

Bài 1:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\left(1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2=1\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge1\Rightarrow a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\)

Lại theo Cauchy-Schwarz lần nữa:

\(\left[\left(1^2\right)^2+\left(1^2\right)^2\right]\left[\left(a^2\right)^2+\left(b^2\right)^2\right]\ge\left(a^2+b^2\right)^2=\dfrac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^4+b^4\right)\ge\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow a^4+b^4\ge\dfrac{1}{8}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=\dfrac{1}{2}\)

Bài 2:

Trước tiên ta chứng minh \(\dfrac{a^3}{b^2}+\dfrac{b^3}{c^2}+\dfrac{c^3}{a^2}\ge\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\)

Ta chứng minh bổ đề: \(\dfrac{a^3}{b^2}\ge\dfrac{a^2}{b}+a-b\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)(đúng)

Viết các BĐT tương tự và cộng lại

\(\dfrac{a^3}{b^2}+\dfrac{b^3}{c^2}+\dfrac{c^3}{a^2}\ge\dfrac{a^2}{b}+a-b+\dfrac{b^2}{c}+b-c+\dfrac{c^2}{a}+c-a=\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\left(1\right)\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:

\(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=a+b+c\left(2\right)\)

Từ \((1);(2)\) ta thu được ĐPCM