Tam giác ABC có các cạnh là a, b, c và có chu vi bằng 2. Chứng minh rằng :
\(\dfrac{52}{27}\le a^2+b^2+c^2+2abc< 2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 8 2017
Lời giải:
Đặt biểu thức là $A$
Vế đầu tiên:
Áp dụng BĐT Schur bậc 3 ta có:
\(abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\)
\(\Leftrightarrow abc\geq (a+b+c-2a)(a+b+c-2b)(a+b+c-2c)\)
\(\Leftrightarrow abc\geq (2-2a)(2-2b)(2-2c)\)
Thực hiên khai triển:
\(abc\geq 8-8(a+b+c)+8(ab+bc+ac)-8abc\)
\(\Leftrightarrow 9abc\geq 8(ab+bc+ac)-8\) \(\Rightarrow 2abc\geq \frac{16}{9}(ab+bc+ac)-\frac{16}{9}\)
Do đó:
\(A=a^2+b^2+c^2+2abc\geq a^2+b^2+c^2+\frac{16}{9}(ab+bc+ac)-\frac{16}{9}\)
\(\Leftrightarrow A\geq (a+b+c)^2-\frac{2}{9}(ab+bc+ac)-\frac{16}{9}\)
\(\Leftrightarrow A\geq 4-\frac{2}{9}(ab+bc+ac)-\frac{16}{9}=\frac{20}{9}-\frac{2}{9}(ab+bc+ac)\)
Mà theo hệ quả của BĐT Am-Gm:
\(ab+bc+ac\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{4}{3}\)
\(\Rightarrow A\geq \frac{20}{9}-\frac{2}{9}.\frac{4}{3}=\frac{52}{27}\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\frac{2}{3}\)
Vế sau:
Ta có: \(A<2\Leftrightarrow 2A<4\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)+4abc<4\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+4abc< 2(ab+bc+ac)\)
\(\Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)(a+b+c)+8abc<2(ab+bc+ac)(a+b+c)\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+2abc< ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)\)
\(\Leftrightarrow a(ab+ac-a^2-bc)+b(ab+bc-b^2-ac)+c^2(b+c-a)>0\)
\(\Leftrightarrow a(a-c)(b-a)+b(b-c)(a-b)+c^2(a+b-c)>0\)
\(\Leftrightarrow (a-b)(b-a)(a+b-c)+c^2(a+b-c)>0\)
\(\Leftrightarrow (a+b-c)[(c^2-(a-b)^2]>0\)
BĐT trên luôn đúng do với $a,b,c$ là ba cạnh tam giác thì \(a+b>c\) và \(c>|a-b|\)
Do đó ta có đpcm.
27 tháng 7 2017
Ta có:
\(a< b+c\)
\(\Leftrightarrow2a< a+b+c=2\)
\(\Leftrightarrow a< 1\)
Tương tự ta cũng có:
\(\hept{\begin{cases}b< 1\\c< 1\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)>0\)
\(\Leftrightarrow-abc+ab+bc+ca-a-b-c+1>0\)
\(\Leftrightarrow abc< \left(ab+bc+ca\right)-1\)
\(\Leftrightarrow2abc< 2\left(ab+bc+ca\right)-2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2abc< a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)-2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2abc< \left(a+b+c\right)^2+2=4-2=2\)
26 tháng 1 2021
Từ gt suy ra a < b + c nên 2a < a + b + c = 2
\(\Rightarrow a< 1\).
Chứng minh tương tự: \(b< 1;c< 1\).
Do đó \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)< 0\Leftrightarrow abc< ab+bc+ca-1\) (Do a + b + c = 2)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2abc< a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca-1\right)=\left(a+b+c\right)^2-2=2\) (đpcm).
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 2 2021
\(\dfrac{cosA}{a}+\dfrac{cosB}{b}+\dfrac{cosC}{c}\)
\(=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2abc}+\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2abc}+\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2abc}\)
\(=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2abc}\) (đpcm)
2 tháng 3 2021
a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA
b2 = a2 + c2 - 2ac.cosB
c2 = a2 + b2 - 2ab.cosC
⇒ a2 + b2 + c2 = 2bc.cosA + 2ac.cosB + 2ab.cosC
⇒ VT = \(\dfrac{2bc.cosA}{2abc}+\dfrac{2ab.cosC}{2abc}+\dfrac{2ac.cosB}{2abc}\)
⇒ VT = \(\dfrac{cosA}{a}+\dfrac{cosB}{b}+\dfrac{cosC}{c}\)
27 tháng 5 2015
a, b, c là độ dài 3 cạnh của tgiác nên ta có: b+c > a => ab+ac > a²
tương tự: bc+ab > b²; ca+bc > c²
cộng lại: 2ab+2bc+2ca > a²+b²+c² (*)
gthiết: 4 = (a+b+c)² = a²+b²+c² + 2ab+2bc+2ca > a²+b²+c² + a²+b²+c² {ad (*)}
=> 2 > a²+b²+c² (đpcm)
đúng nha
Theo BĐT tam giác ta có:
\(b+c>a\Rightarrow a+b+c>2a\Rightarrow2>2a\Rightarrow a< 1\)
Tương tự cũng có: \(b<1;c<1\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\le\left(\dfrac{1-a+1-b+1-c}{3}\right)^3=\left(\dfrac{3-\left(a+b+c\right)}{3}\right)^3=\dfrac{1}{27}\)
\(\Rightarrow0< \left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\le\dfrac{1}{27}\)
\(\Rightarrow0< ab+bc+ca-abc-\left(a+b+c\right)+1\le\dfrac{1}{27}\)
\(\Rightarrow0< ab+bc+ca-abc-1\le\dfrac{1}{27}\)
\(\Rightarrow1< ab+bc+ca-abc\le\dfrac{28}{27}\)
\(\Rightarrow2< 2ab+2bc+2ca+a^2+b^2+c^2-\left(a^2+b^2+c^2+2abc\right)\le\dfrac{56}{27}\)
\(\Rightarrow2< \left(a+b+c\right)^2-\left(a^2+b^2+c^2+2abc\right)\le\dfrac{56}{27}\)
\(\Rightarrow2< 4-\left(a^2+b^2+c^2+2abc\right)\le\dfrac{56}{27}\)
\(\Rightarrow\dfrac{52}{27}\le a^2+b^2+c^2+2abc< 2\) *Đúng*
bx gửi đc hết đề luôn -.- mà tại bị lỗi gì đấy rồi TT.TT má :v buồn ghê luôn >v< tại ảnh lấy bên messenger còn phải save rôi edit tùm lum nữa nên chỉ gửi đc đề toán thoi =="