Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AH là đường cao . Trên đoạn HC lấy M ( M khác H , M khác C ), gọi I,J lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ M đến các cạnh AC và AB , N là điểm đối xứng của M qua IJa, Chứng minh : ABCN là tứ giác nội tiếp đương tròn (T)b, Kéo dài AM cắt đường tròn (T) tại P ( P khác A ). Chứng minh: \(\frac{1}{PM} \frac{1}{PB} \frac{1}{PC}\)c, Gọi D là trung điểm của AH , kẻ HK...
Đọc tiếp
Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AH là đường cao . Trên đoạn HC lấy M ( M khác H , M khác C ), gọi I,J lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ M đến các cạnh AC và AB , N là điểm đối xứng của M qua IJ
a, Chứng minh : ABCN là tứ giác nội tiếp đương tròn (T)
b, Kéo dài AM cắt đường tròn (T) tại P ( P khác A ). Chứng minh: \(\frac{1}{PM}< \frac{1}{PB}< \frac{1}{PC}\)
c, Gọi D là trung điểm của AH , kẻ HK vuông góc với CD tại K . Chứng minh : \(\widehat{BAK}=\widehat{KHC}\)
a) Ta có tứ giác AIMJ là hcn=> AIMJ nội tiếp đường tròn đường kính AM, IJ
Vì N đối xứng với M qua IJ => góc JNI = góc JMI = 90o ha N thuộc đường tròn đường kính AM và IJ => góc ANM = 90o
mà I thuộc trung trực MN => tam giác MIC vuông cân tại I => I thuộc trung trực MC
=> I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNC
=> góc MNC =1/2 góc MIC = 450
=> góc ABC + góc ANC = 45+90+45=1800
Hay tứ giác ABCN nội tiếp đường tròn (T) (ĐPCM)
b)CM: 1/PM<1/PB+1/PC ?
Ta có: tam giác MPC đồng dạng tam giác MBA => PM/MB=PC/BA => PM/PC=MB/BA (1)
TAM GIÁC MBP đồng dạng tam giác MAC => PM/MC=PB/CA=> PM/PB=MC/AC (2)
Cộng vế theo về của (1) và (2) ta có:
PM/PC+PM/PB=MB/BC+MC/AC=MB/BA+MC/BA=AC/BA>1 => ĐPCM
c) Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao ta có:
DH2=DK.DC => DA2=DK.DC
=> DA/DC=DK/DA => TAM GIÁC DKA đồng dạng tam giác DAC => góc AKD =DAC =45o
=> góc ABH+ góc AKH = 45+45+90=1800=> TỨ GIÁC ABHK nội tiếp
=> Góc AKB =AHB =90 = GÓC HKC
Mà góc ABK =AHK=KCH => đpcm