Cho khoảng \(K,x_0\in K\) và hàm số \(y=f\left(x\right)\) xác định trên \(K\)\ \(\left\{x_0\right\}\) Chứng minh rằng nếu \(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f\left(x\right)= \infty\) thì luôn tồn tại ít...

1

NL

Nguyễn Lê Phước Thịnh

14 tháng 5 2022

Tham khảo:

SG

Sách Giáo Khoa

10 tháng 4 2017

Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\) xác định trên khoảng (a; b) chứa điểm \(x_0\)

Chứng minh rằng nếu \(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\dfrac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=L\) thì hàm số \(f\left(x\right)\) liên tục tại điểm \(x_0\) ?

1

NL

Nguyễn Lê Phước Thịnh

14 tháng 5 2022

undefined

Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \((a;b)\) và \({x_0} \in (a;b)\). Điều kiện cần và đủ để hàm số \(y = f(x)\) liên tục tại \({x_0}\) là:A. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x) = f\left( {{x_0}} \right)\). B. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f(x) = f\left( {{x_0}} \right)\).C. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f(x)\). D....

QT

Quoc Tran Anh Le

Giáo viên

22 tháng 9 2023

1

HQ

Hà Quang Minh

Giáo viên

22 tháng 9 2023

Theo lí thuyết ta chọn đáp án D.

SG

Sách Giáo Khoa

10 tháng 4 2017

Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\) xác định trên khoảng \(\left(a;+\infty\right)\)

Chứng minh rằng nếu \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}=-\infty\) thì luôn tồn tại ít nhất một số c thuộc \(\left(a;+\infty\right)\) sao cho \(f\left(c\right)< 0\)

1

NL

Nguyễn Lê Phước Thịnh

14 tháng 5 2022

Tham khảo:

Cho hai hàm số \(y=f\left(x\right)\) và \(y=g\left(x\right)\) cùng xác định trên khoảng \(\left(-\infty;a\right)\). Dùng định nghĩa chứng minh rằng...

SG

Sách Giáo Khoa

10 tháng 4 2017

1

NL

Nguyễn Lê Phước Thịnh

14 tháng 5 2022

undefined

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1}&{khi\,\,1 < x \le 2}\\k&{khi\,\,x = 1}\end{array}} \right.\).a) Xét tính liên tục của hàm số tại mỗi điểm \({x_0} \in \left( {1;2} \right)\).b) Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right)\) và so sánh giá trị này với \(f\left( 2 \right)\).c) Với giá trị nào của \(k\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) =...

B

Buddy

17 tháng 7 2023

1

HQ

Hà Quang Minh

Giáo viên

22 tháng 9 2023

a) Với mọi điểm \({x_0} \in \left( {1;2} \right)\), ta có: \(f\left( {{x_0}} \right) = {x_0} + 1\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {x + 1} \right) = {x_0} + 1\).

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right) = {x_0} + 1\) nên hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại mỗi điểm \({x_0} \in \left( {1;2} \right)\).

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {x + 1} \right) = 2 + 1 = 3\).

\(f\left( 2 \right) = 2 + 1 = 3\).

\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\).

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x + 1} \right) = 1 + 1 = 2\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = k \Leftrightarrow 2 = k \Leftrightarrow k = 2\)

Vậy với \(k = 2\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = k\).

QT

Quoc Tran Anh Le

Giáo viên

22 tháng 9 2023

Bạn Nam cho rằng: “Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0},\) còn hàm số \(y = g\left( x \right)\) không liên tục tại \({x_0},\) thì hàm số \(y = f\left( x \right) + g\left( x \right)\) không liên tục tại \({x_0}\)”. Theo em, ý kiến của bạn Nam đúng hay sai? Giải thích.

1

HQ

Hà Quang Minh

Giáo viên

22 tháng 9 2023

Theo em ý kiến của bạn Nam là đúng.

Ta có: Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0}\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\)

Hàm số \(y = g\left( x \right)\) không liên tục tại \({x_0}\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) \ne g\left( {{x_0}} \right)\)

Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) \ne f\left( {{x_0}} \right) + g\left( {{x_0}} \right)\)

Vì vậy hàm số không liên tục tại x₀.

Cho hàm số y=f(x) xác định trên (a;b). Nếu \(\forall\left(x_o\right),x_n\ne x_o,l\text{imx}_n=x_o\Rightarrow...

MA

Mai Anh

14 tháng 4 2022

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

14 tháng 4 2022

\(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f\left(x\right)=+\infty\)

a. Có bao nhiêu giá trị của a để \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^2-ax+2021}-x+1\right)=a^2\)b. Tìm a để hàm số f(x)=\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x^3+1}{x+1}khix\ne-1\\3akhix=-1\end{matrix}\right.\)gián đoạn tại điểm \(x_0=-1\)c. Cho tứ diện đều ABCD .Góc giữa 2 vecto DA và BD bằng?d. Cho hàm số y = f(x) = \(\dfrac{x^2-1}{2-2x}\)khi \(x\ne1\) .Để hàm số liên tục tại x=1 thì f(1) phải nhận giá trị nào dưới đây? (giải tự...

DN

Dương Nguyễn

14 tháng 3 2022

Cho \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) là hai hàm số có đạo hàm tại \({x_0}\). Xét hàm số \(h\left( x \right) = f\left( x \right) + g\left( x \right)\).Ta có \(\frac{{h\left( x \right) - h\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} + \frac{{g\left( x \right) - g\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)nên \(h'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{h\left( x \right) - h\left( {{x_0}}...

3

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

14 tháng 3 2022

a.

\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^2-ax+2021}-x+1\right)\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(\dfrac{\left(\sqrt{x^2-ax+2021}-x\right)\left(\sqrt{x^2-ax+2021}+x\right)}{\sqrt{x^2-ax+2021}+x}+1\right)\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(\dfrac{-ax+2021}{\sqrt{x^2-ax+2021}+x}+1\right)\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(\dfrac{x\left(-a+\dfrac{2021}{x}\right)}{x\left(\sqrt{1-\dfrac{a}{x}+\dfrac{2021}{x^2}}+1\right)}+1\right)\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(\dfrac{-a+\dfrac{2021}{x}}{\sqrt{1-\dfrac{a}{x}+\dfrac{2021}{x^2}}+1}+1\right)\)

\(=\dfrac{-a+0}{\sqrt{1+0+0}+1}+1=-\dfrac{a}{2}+1\)

\(\Rightarrow a^2=-\dfrac{a}{2}+1\Rightarrow2a^2+a-2=0\)

Pt trên có 2 nghiệm pb nên có 2 giá trị a thỏa mãn

Đúng(1)

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

14 tháng 3 2022

b.

\(\lim\limits_{x\rightarrow-1}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-1}\dfrac{x^3+1}{x+1}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow-1}\dfrac{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}{x+1}=\lim\limits_{x\rightarrow-1}\left(x^2-x+1\right)\)

\(=1+1+1=3\)

\(f\left(-1\right)=3a\)

Hàm gián đoạn tại điểm \(x_0=-1\) khi:

\(\lim\limits_{x\rightarrow-1}f\left(x\right)\ne f\left(-1\right)\Rightarrow3\ne3a\)

\(\Rightarrow a\ne1\)

Đúng(1)

B

Buddy

20 tháng 8 2023

1

HQ

Hà Quang Minh

Giáo viên

22 tháng 9 2023

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = f'\left( {{x_0}} \right);\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{g\left( x \right) - g\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = g'\left( {{x_0}} \right)\)

Vậy \(h'\left( {{x_0}} \right) = f'\left( {{x_0}} \right) + g'\left( {{x_0}} \right)\).