Chứng minh rằng với mọi \(n\in N^{\circledast}\), ta có :
a) \(2n^3-3n^2+n\) chia hết cho 6
b) \(11^{n+1}+12^{n-1}\) chia hết cho 133
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
15 tháng 6 2017
a) Giải:
Đặt \(A_n=11^{n+2}+12^{2n+1}\)\((*)\) Với \(n=0\) ta có:
\(A_0=11^2+12^1=133\) \(⋮133\Rightarrow\) \((*)\) đúng
Giả sử \((*)\) đúng đến giá trị \(k=n\) tức là:
\(B_k=11^{k+2}+12^{2k+1}\) \(⋮133\left(1\right)\)
Xét \(B_{k+1}-B_k\)
\(=11^{k+1+2}+12^{2\left(k+1\right)+1}-\left(11^{k+2}+12^{2k+1}\right)\)
\(=11^{k+3}-11^{k+2}+12^{2k+3}-12^{2k+1}\)
\(=10.11^{k+2}+143.12^{2k+1}\)
\(=10.121.11^k+143.12.144^k\)
\(\equiv\) \(10.121.11^k+10.12.11^k\)
\(\equiv\) \(10.11^k\left(121+12\right)\) \(\equiv\) \(0\left(mod133\right)\)
Theo giả thiết quy nạy \(\left(1\right)\) ta có: \(B_k⋮133\Leftrightarrow B_{k+1}⋮133\)
Hay \((*)\) đúng với \(n=k+1\) \(\Rightarrow\) Đpcm
MH
9 tháng 4 2017
a) Với n = 1, ta có:
13n – 1 = 131 – 1 = 12 ⋮ 6
Giả sử: 13k - 1 ⋮ 6 với mọi k ≥ 1
Ta chứng minh: 13k+1 – 1 chia hết cho 6
Thật vậy:
13k+1 – 1 = 13k+1 – 13k+ 13k -1 = 12.13k +13k – 1
Vì : 12.13k ⋮ 6 và 13k – 1 ⋮ 6
Nên : 13k+1 – 1 ⋮ 6
Vậy 13n -1 chia hết cho 6
b) Với n = 1, ta có: 3n3 + 15n = 18 ⋮ 9
Giả sử: 3(k + 1)3 + 15(k + 1) Ta chứng minh: 3(k + 1)3 + 15(k + 1) ⋮ 9
Thật vậy:
3(k + 1)3 + 15(k + 1) = 3. (k3 + 3k2 + 3k + 1) + 15(k + 1)
= 3k3 + 9k2 + 9k + 15k + 18
= 3k3 + 15k + 9(k2 + k + 2)
Vì 3(k + 1)3 + 15(k + 1) (giả thiết quy nạp) và 9(k2 + k + 2) ⋮ 9
Nên: 3(k + 1)3 + 15(k + 1) ⋮ 9
Vậy: 3n3 + 15n chia hết cho 9 với mọi n ∈ N*
VD
0
NT
1
10 tháng 3 2019
Ta có: 11^n+2+12^2n+1=121*11^12*144^n
=(133-12)*11^n+12*144^n
=133*11^n+12(144^n-11^n)
Ta có:133*11^n chia hết cho 133
144^n -11^n chia hết 133
Suy ra 11^n+12^2n+1chia hết cho 133
HG
1
MH
9 tháng 4 2017
a) Đặt Sn = n3 + 3n2 + 5n
Với n = 1 thì S1 = 9 chia hết cho 3
Giả sử với n = k ≥ 1, ta có Sk = (k3 + 3k2 + 5k) 3
Ta phải chứng minh rằng Sk+1 3
Thật vậy Sk+1 = (k + 1)3 + 3(k + 1)2 + 5(k + 1)
= k3 + 3k2 + 3k + 1 + 3k2 + 6k + 3 + 5k + 5
= k3 + 3k2 + 5k + 3k2 + 9k + 9
hay Sk+1 = Sk + 3(k2 + 3k + 3)
Theo giả thiết quy nạp thì Sk 3, mặt khác 3(k2 + 3k + 3)
3 nên Sk+1
3.
Vậy (n3 + 3n2 + 5n) 3 với mọi n ε N* .
b) Đặt Sn = 4n + 15n - 1
Với n = 1, S1 = 41 + 15.1 – 1 = 18 nên S1 9
Giả sử với n = k ≥ 1 thì Sk= 4k + 15k - 1 chia hết cho 9.
Ta phải chứng minh Sk+1 9.
Thật vậy, ta có: Sk+1 = 4k + 1 + 15(k + 1) – 1
= 4(4k + 15k – 1) – 45k + 18 = 4Sk – 9(5k – 2)
Theo giả thiết quy nạp thì Sk 9 nên 4S1
9, mặt khác 9(5k - 2)
9, nên Sk+1
9
Vậy (4n + 15n - 1) 9 với mọi n ε N*
c) Đặt Sn = n3 + 11n
Với n = 1, ta có S1 = 13 + 11n = 12 nên S1 6
Giả sử với n = k ≥ 1 ,ta có Sk = k3 + 11k 6
Ta phải chứng minh Sk+1 6
Thật vậy, ta có Sk+1 = (k + 1)3 + 11(k + 1) = k3 + 3k + 3k + 1 + 11k + 11
= ( k3 + 11k) + 3(k2 + k + 4) = Sk + 3(k2 + k + 4)
THeo giả thiết quy nạp thì Sk 6, mặt khác k2 + k + 4 = k(k + 1) + 1 là số chẵn nên 3(k2 + k + 4)
6, do đó Sk+1
6
Vậy n3 + 11n chia hết cho 6 với mọi n ε N* .
NC
1 tháng 1 2016
có biết đâu mà giúp, mong bạn thông cảm cho. Nhớ tick cho mình với
Phân tích nhân tử nhầm=>giải lại
\(A=2n^2-3n^2+n=n\left(2n^2-3n+1\right)=n\left(n-1\right)\left(2n+1\right)\)\(A=n\left(n-1\right)\left(2n+2-3\right)=\left[2n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\right]-3\left(n\right)\left(n-1\right)=2B-3C\)
\(\left\{{}\begin{matrix}B⋮3\\C⋮2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2B⋮6\\3C⋮3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow A⋮6\) => dpcm
Lời giải:
\(A=n\left(2n^3-3n+1\right)=n\left(n-1\right)\left(2n^2+2n-1\right)\)
\(A=n\left(n-1\right)\left[2n\left(n+1\right)-1\right]=2n\left(n-1\right)\left(n+1\right)+n\left(n-1\right)=B-C\)\(\left\{{}\begin{matrix}B⋮2\\B⋮3\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow B⋮6\forall n\in N\)
\(C=n\left(n-1\right)\) không thể chia hết cho 6 với mọi n thuộc N
\(\Rightarrow A\) chỉ chia hết cho 6 với điều kiện \(n\ne3k+2\)
ví dụ đơn giải với k=0 => n= 2
\(A=2.2^3-3.2^2+2=14⋮̸6\)
Kết luận đề sai