Bài tập tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất khó: a) Cho a,b,c >0 và a b c=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M=$\dfrac{1}{1-2\left(ab bc ca\right)} \dfrac{1}{abc}$. b) Cho các số a,b,c,d thoả mãn \(...

TT

TK Trung Kiên

8 tháng 4 2017

Bài tập tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất khó: a) Cho a,b,c >0 và a+b+c=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M=$\dfrac{1}{1-2\left(ab+bc+ca\right)}+\dfrac{1}{abc}$. b) Cho các số a,b,c,d thoả mãn $0\le a,b,c,d\le1$. Tìm giá trị lớn nhất của N =...

Đọc tiếp

#Toán lớp 8

0

MT

Mai Tiến Đỗ

22 tháng 1 2021

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\dfrac{1}{a\left(b^2+bc+c^2\right)}+\dfrac{1}{b\left(c^2+ca+a^2\right)}+\dfrac{1}{c\left(a^2+ab+b^2\right)}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}$

#Toán lớp 9

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

23 tháng 1 2021

$abc\ge\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)$

$\Leftrightarrow abc\ge\left(3-2a\right)\left(3-2b\right)\left(3-2c\right)$

$\Leftrightarrow9abc\ge12\left(ab+bc+ca\right)-27$

$\Rightarrow abc\ge\dfrac{4}{3}\left(ab+bc+ca\right)-3$

$P\ge\dfrac{9}{a\left(b^2+bc+c^2\right)+b\left(c^2+ca+a^2\right)+c\left(a^2+ab+b^2\right)}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}=\dfrac{9}{\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}$

$\Rightarrow P\ge\dfrac{3}{ab+bc+ca}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}=\dfrac{3+abc}{ab+bc+ca}$

$\Rightarrow P\ge\dfrac{3+\dfrac{4}{3}\left(ab+bc+ca\right)-3}{ab+bc+ca}=\dfrac{4}{3}$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Đúng(3)

DT

Đỗ Thị Hằng

17 tháng 1 2021

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $ac\ge12,bc\ge8$. Tìm giá trị nhỏ nhất (nếu có) của biểu thức:

$D=a+b+c+2\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\right)+\dfrac{8}{abc}$

#Toán lớp 10

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

17 tháng 1 2021

Dự đoán điểm rơi xảy ra tại $\left(a;b;c\right)=\left(3;2;4\right)$

Đơn giản là kiên nhẫn tính toán và tách biểu thức:

$D=13\left(\dfrac{a}{18}+\dfrac{c}{24}\right)+13\left(\dfrac{b}{24}+\dfrac{c}{48}\right)+\left(\dfrac{a}{9}+\dfrac{b}{6}+\dfrac{2}{ab}\right)+\left(\dfrac{a}{18}+\dfrac{c}{24}+\dfrac{2}{ac}\right)+\left(\dfrac{b}{8}+\dfrac{c}{16}+\dfrac{2}{bc}\right)+\left(\dfrac{a}{9}+\dfrac{b}{6}+\dfrac{c}{12}+\dfrac{8}{abc}\right)$

Sau đó Cô-si cho từng ngoặc là được

Đúng(2)

NV

Nguyễn Việt Thành

13 tháng 1 2022

Có cách nào làm ngắn hơn ko ạ

Đúng(0)

TK

thục khuê nguyễn

22 tháng 2 2020

câu1:

a) Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c =1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của biểu thức:
P=$\frac{ab+bc+ca-abc}{a+2b+c}$
b) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn $^{a^2+b^2+c^2=1}$
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =ab +bc + ca .

#Toán lớp 8

0

MH

Minh Hiếu

21 tháng 1 2022

1. Cho a, b, c, d thỏa mãn: abcd=1.Tính gía trị biểu thức: M= $\dfrac{a}{abc+ab+a+1}+\dfrac{b}{bcd+bc+b+1}+\dfrac{c}{cda+cd+1}+\dfrac{d}{dab+da+d+1}$2. Cho các số a, b, c, d thỏa mãn: 0 ≤a, b, c, d ≤1.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:N$=\dfrac{a}{bcd+1}+\dfrac{b}{cda+1}+\dfrac{c}{dab+1}+\dfrac{d}{abc+1}$3. Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AM, BN, CP cắt nhau tại H.a) Chứng minh: $AB.BP+AC.CN=BC^2$b) Cho B, C cố định A thay đổi. Tìm vị...

Đọc tiếp

#Toán lớp 8

3

AH

Akai Haruma

Giáo viên

22 tháng 1 2022

Bài 1: Ta có:

$M=\frac{ad}{abcd+abd+ad+d}+\frac{bad}{bcd.ad+bc.ad+bad+ad}+\frac{c.abd}{cda.abd+cd.abd+cabd+abd}+\frac{d}{dab+da+d+1}$

$=\frac{ad}{1+abd+ad+d}+\frac{bad}{d+1+bad+ad}+\frac{1}{ad+d+1+abd}+\frac{d}{dab+da+d+1}$

$=\frac{ad+abd+1+d}{ad+abd+1+d}=1$

Đúng(2)

AH

Akai Haruma

Giáo viên

22 tháng 1 2022

Bài 2:

Vì $a,b,c,d\in [0;1]$ nên

$N\leq \frac{a}{abcd+1}+\frac{b}{abcd+1}+\frac{c}{abcd+1}+\frac{d}{abcd+1}=\frac{a+b+c+d}{abcd+1}$

Ta cũng có:
$(a-1)(b-1)\geq 0\Rightarrow a+b\leq ab+1$

Tương tự:

$c+d\leq cd+1$

$(ab-1)(cd-1)\geq 0\Rightarrow ab+cd\leq abcd+1$

Cộng 3 BĐT trên lại và thu gọn thì $a+b+c+d\leq abcd+3$

$\Rightarrow N\leq \frac{abcd+3}{abcd+1}=\frac{3(abcd+1)-2abcd}{abcd+1}$

$=3-\frac{2abcd}{abcd+1}\leq 3$

Vậy $N_{\max}=3$

Đúng(1)

VN

VUX NA

21 tháng 8 2021

Cho a,b,c là cái số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : Q = $\dfrac{\left(1-c\right)^2}{\sqrt{2\left(b+c\right)^2+bc}}+\dfrac{\left(1-a\right)^2}{\sqrt{2\left(c+a\right)^2+ca}}$ + $\dfrac{\left(1-b\right)^2}{\sqrt{2\left(a+b\right)^2+ab}}$

#Toán lớp 9

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

21 tháng 8 2021

$Q=\sum\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\sqrt{2\left(b+c\right)^2+bc}}\ge\sum\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\sqrt{2\left(b+c\right)^2+\dfrac{1}{4}\left(b+c\right)^2}}=\dfrac{2}{3}\sum\dfrac{\left(a+b\right)^2}{b+c}$

$Q\ge\dfrac{2}{3}.\dfrac{\left(a+b+b+c+c+a\right)^2}{a+b+b+c+c+a}=\dfrac{4}{3}\left(a+b+c\right)=\dfrac{4}{3}$

Đúng(0)

VN

VUX NA

21 tháng 8 2021

∑ cái này nghĩa là gì ạ

Đúng(0)

HN

hacker nỏ

10 tháng 5 2022

Cho a,b,c >0 thoả mãn ab+bc+ca=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của

P=$\dfrac{1+3a}{1+b^2}+\dfrac{1+3b}{1+c^2}+\dfrac{1+3c}{1+a^2}$

#Toán lớp 8

1

TT

Trần Tuấn Hoàng

21 tháng 5 2022

Ta có BĐT: $\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)=3.3=9$

$\Rightarrow a+b+c\ge3$

Phân tích và áp dụng BĐT AM-GM:

$\dfrac{1+3a}{1+b^2}=\dfrac{1}{1+b^2}+\dfrac{3a}{1+b^2}=\left(1-\dfrac{b^2}{1+b^2}\right)+\left(3a-\dfrac{3ab^2}{1+b^2}\right)\ge\left(1-\dfrac{b^2}{2b}\right)+\left(3a-\dfrac{3ab^2}{2b}\right)=\left(1-\dfrac{b}{2}\right)+\left(3a-\dfrac{3}{2}ab\right)$

Tương tự:

$\dfrac{1+3b}{1+c^2}\ge\left(1-\dfrac{c}{2}\right)+\left(3b-\dfrac{3}{2}bc\right)$

$\dfrac{1+3c}{1+a^2}\ge\left(1-\dfrac{a}{2}\right)+\left(3c-\dfrac{3}{2}ca\right)$

Cộng các vế của các BĐT ta được:

$P\ge3-\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)+3\left(a+b+c\right)-\dfrac{3}{2}\left(ab+bc+ca\right)=3+\dfrac{5}{2}\left(a+b+c\right)-\dfrac{3}{2}.3\ge3+\dfrac{5}{2}.3-\dfrac{9}{2}=6$

$P=6\Leftrightarrow a=b=c=1$

Vậy $P_{min}=6$

Đúng(0)

ND

Nguyễn Đức Duy

7 tháng 10 2023

1.cho a,b,c là các số dương thảo man: a+b+c=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Q=$\dfrac{a\left(b+c\right)}{a+1}+\dfrac{b\left(c+a\right)}{b+1}+\dfrac{c\left(a+b\right)}{c+1}$ 2.cho a,b,c dương thỏa man: a2+b2+c2=1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:...

Đọc tiếp