Cho a,b,c là các số thực dương.
CMR \(\left(1+a^3\right)\left(1+b^3\right)\left(1+c^3\right)\ge\left(1+ab^2\right)\left(1+bc^2\right)\left(1+ca^2\right)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
26 tháng 2 2021
Theo bđt Cauchy - Schwart ta có:
\(\text{Σ}cyc\frac{c}{a^2\left(bc+1\right)}=\text{Σ}cyc\frac{\frac{1}{a^2}}{b+\frac{1}{c}}\ge\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+a+b+c}\)\(=\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+3}\)
\(=\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{abc\left(ab+bc+ca\right)+3a^2b^2c^2}\)
Đặt \(ab+bc+ca=x;abc=y\).
Ta có: \(\frac{x^2}{xy+3y^2}\ge\frac{9}{x\left(1+y\right)}\Leftrightarrow x^3+x^3y\ge9xy+27y^2\)
\(\Leftrightarrow x\left(x^2-9y\right)+y\left(x^3-27y\right)\ge0\) ( luôn đúng )
Vậy BĐT đc CM. Dấu '=' xảy ra <=> a=b=c=1
13 tháng 1 2019
sử dụng bđt phụ: \(\left(1+x^3\right)\left(1+y^3\right)\left(1+z^3\right)\ge\left(1+xyz\right)^3\)
Biến đổi tương đương
khi đó: \(\left(1+a^3\right)\left(1+b^3\right)\left(1+b^3\right)\ge\left(1+ab^2\right)^3\)
Tương tự có đpcm
AH
Akai Haruma
Giáo viên
17 tháng 2 2021
Đây là BĐT Iran 96 khá nổi tiếng. Bạn hoàn toàn có thể search trên google lời giải.
KN
21 tháng 8 2020
Chú ý đến giả thiết a + b + c = 1 ta viết được \(\frac{ab}{\sqrt{\left(1-c\right)^3\left(1+c\right)}}=\frac{ab}{\sqrt{\left(a+b\right)^2\left(1-c\right)\left(1+c\right)}}=\)\(\frac{ab}{\left(a+b\right)\sqrt{1-c^2}}=\frac{ab}{\left(a+b\right)\sqrt{\left(a+b+c\right)^2-c^2}}\)\(=\frac{ab}{\left(a+b\right)\sqrt{a^2+b^2+2\left(ab+bc+ca\right)}}\)
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được \(a^2+b^2+2\left(ab+bc+ca\right)\ge2ab+2\left(ab+bc+ca\right)=\)\(2\left(ab+bc\right)+2\left(ab+ca\right)\)và \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
Từ đó dẫn đến \(\frac{ab}{\left(a+b\right)\sqrt{a^2+b^2+2\left(ab+bc+ca\right)}}\le\frac{ab}{2\sqrt{ab}\sqrt{2\left(ab+bc\right)+2\left(ab+ca\right)}}\)\(=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{ab}{2\left(ab+bc\right)+2\left(ab+ca\right)}}\)
Mà theo bất đẳng thức quen thuộc \(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\) ta có: \(\sqrt{\frac{ab}{2\left(ab+bc\right)+2\left(ab+ca\right)}}\le\sqrt{\frac{1}{4}\left(\frac{ab}{2\left(ab+bc\right)}+\frac{ab}{2\left(ab+ca\right)}\right)}\)
\(=\frac{1}{2\sqrt{2}}\sqrt{\frac{ab}{ab+bc}+\frac{ab}{ab+ca}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\sqrt{\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}}\)
Từ đó ta có bất đẳng thức: \(\frac{ab}{\sqrt{\left(1-c\right)^3\left(1+c\right)}}\le\frac{1}{4\sqrt{2}}\sqrt{\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}}\)(1)
Hoàn toàn tương tự, ta có: \(\frac{bc}{\sqrt{\left(1-a\right)^3\left(1+a\right)}}\le\frac{1}{4\sqrt{2}}\sqrt{\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+a}}\)(2) ; \(\frac{ca}{\sqrt{\left(1-b\right)^3\left(1+b\right)}}\le\frac{1}{4\sqrt{2}}\sqrt{\frac{c}{c+b}+\frac{a}{a+b}}\)(3)
Cộng theo vế 3 bất đẳng thức (1), (2), (3), ta được: \(\frac{ab}{\sqrt{\left(1-c\right)^3\left(1+c\right)}}+\frac{bc}{\sqrt{\left(1-a\right)^3\left(1+c\right)}}+\frac{ca}{\sqrt{\left(1-b\right)^3\left(1+b\right)}}\)\(\le\frac{1}{4\sqrt{2}}\left(\sqrt{\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{c+b}+\frac{a}{a+b}}\right)\)
Ta cần chứng minh\(\frac{1}{4\sqrt{2}}\left(\sqrt{\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{c+b}+\frac{a}{a+b}}\right)\le\frac{3\sqrt{2}}{8}\)
Hay \(\sqrt{\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{c+b}+\frac{a}{a+b}}\le3\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được \(\sqrt{\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{c+b}+\frac{a}{a+b}}\)
\(\le\sqrt{3\left(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}+\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+a}+\frac{c}{c+b}+\frac{a}{a+b}\right)}=3\)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
21 tháng 8 2020
Sửa đề: \(\frac{ca}{\sqrt{\left(1-b\right)^3\left(1+b\right)}}\)
31 tháng 3 2021
(
hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh
hhhhhhhhhhhhhhhhh
hhhhhhhhhhhhhhhhhh
hhhhhhhhhhhhhhh
hhhhhhhhhhhhh
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 3 2021
Bài 1:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{(a+1)(b+1)(c+1)}}$
$\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{abc}{(a+1)(b+1)(c+1)}}$
Cộng theo vế và thu gọn:
$\frac{a+1}{a+1}+\frac{b+1}{b+1}+\frac{c+1}{c+1}\geq \frac{3(1+\sqrt[3]{abc})}{\sqrt[3]{(a+1)(b+1)(c+1)}}$
$\Leftrightarrow 3\geq \frac{3(1+\sqrt[3]{abc})}{\sqrt[3]{(a+1)(b+1)(c+1)}}$
$\Rightarrow (a+1)(b+1)(c+1)\geq (1+\sqrt[3]{abc})^3$
Ta có đpcm.
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 3 2021
Bài 2:
$a^3+a^3+a^3+a^3+b^3+c^3\geq 6\sqrt[6]{a^{12}b^3c^3}=6a^2\sqrt{bc}$
$b^3+b^3+b^3+b^3+a^3+c^3\geq 6b^2\sqrt{ac}$
$c^3+c^3+c^3+c^3+a^3+b^3\geq 6c^2\sqrt{ab}$
Cộng theo vế và rút gọn thu được:
$a^3+b^3+c^3\geq a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ac}+c^2\sqrt{ab}$
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
Áp dụng bất đẳng thức Holder ta được:
\(\left(1+a^3\right)\left(1+b^3\right)\left(1+b^3\right)\ge\left(1+ab^2\right)^3\)
\(\left(1+b^3\right)\left(1+c^3\right)\left(1+c^3\right)\ge\left(1+bc^2\right)^3\)
\(\left(1+c^3\right)\left(1+a^3\right)\left(1+a^3\right)\ge\left(1+ca^2\right)^3\)
Nhân từng vế của 3 bất đẳng thức trên ta được:
\(\left(1+a^3\right)\left(1+b^3\right)\left(1+c^3\right)\ge\left(1+ab^2\right)\left(1+bc^2\right)\left(1+ca^2\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)