K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

AH
Akai Haruma
Giáo viên
23 tháng 3 2017

Lời giải:

BĐT tương đương với \((a^2+ab+ac)(a^2+ac+ab+bc)+b^2c^2\geq 0\)

Đặt \(a^2+ab+ac=t\)

BĐT cần chứng minh \(\Leftrightarrow t(t+bc)+b^2c^2=(t-\frac{bc}{2})^2+\frac{3b^2c^2}{4}\geq 0\)

Luôn đúng vì bình phương của một số thực luôn là số không âm

Dấu bằng xảy ra khi \(2(a^2+ab+ac)=bc\)\(bc=0\)

7 tháng 12 2021

Áp dụng BĐT cosi:

\(\left(2+a+b\right)\left(a+4b+ab\right)\ge3\sqrt[3]{2ab}\cdot3\sqrt[3]{4a^2b^2}=9\sqrt[3]{8a^3b^3}=9\cdot2ab=18ab\)

Dấu \("="\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b=2\\a=4b=ab\end{matrix}\right.\left(\text{vô lí}\right)\)

Vậy dấu \("="\) ko xảy ra hay \(\left(2+a+b\right)\left(a+4b+ab\right)>18ab\)

22 tháng 9 2020

\(\left(a+b+c\right)^2+a^2+b^2+c^2=\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2\)

VT : (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2

= a2 + b2 + c2 + 2ab +2bc + 2ac + a2 + b2 + c2

= ( a2 + 2ab + b2 ) + (b2 + 2bc + c2) + ( a2 + 2ac + c2)

= (a + b)2 + (b + c)2 + (a + c)2 = VP

Vậy \(\left(a+b+c\right)^2+a^2+b^2+c^2=\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2\)(đpcm)

8 tháng 4 2020

Giả sử \(a\ge b\ge c\ge0\)

a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(b-c)

=a(a-b)[(a-b)+(b-c)]-b(a-b)(b-c)+c(a-c)(b-c)

=a(a-b)^2 +a(a-b)(b-c)-b(a-b)(b-c)+c(a-c)(b-c)

=a(a-b)^1 +(b-c)(a-b)^2 +c(a-c)(b-c) \(\ge0\)

Vậy .............

hok tốt

21 tháng 7 2016

2) a) Không mất tính tổng quát, ta giả sử \(a\ge b\ge c>0\).Suy ra \(a+b\ge a+c\ge b+c\)

Ta có  : \(\frac{b}{c+a}< \frac{b}{b+c}\)\(\frac{c}{a+b}< \frac{c}{b+c}\)\(\frac{a}{b+c}< 1\)

\(\Rightarrow\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}< \frac{b+c}{b+c}+1=2\)

b) Đặt \(x=b+c-a\)\(y=c+a-b\)\(z=a+b-c\);

Khi đó : \(2a=y+z\Rightarrow a=\frac{y+z}{2}\)\(b=\frac{x+z}{2}\)\(c=\frac{x+y}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{\frac{y+z}{2}}{x}+\frac{\frac{x+z}{2}}{y}+\frac{\frac{x+y}{2}}{z}=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)\right]\)

Mặt khác ta có : \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\)\(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\ge2\)\(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\ge2\)

\(\Rightarrow\frac{\frac{y+z}{2}}{x}+\frac{\frac{x+z}{2}}{y}+\frac{\frac{x+y}{2}}{z}\ge\frac{1}{2}\left(2+2+2\right)\)

hay \(\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\ge3\)(đpcm)

9 tháng 4 2020

No Name:Đây chính là bất đẳng thức Schur bậc 3

Do a,b,c bình đẳng ta giả sử \(a\ge b\ge c\)

Đặt \(a-b=x;b-c=y\)

Khi đó BĐT tương đương với:

\(c\left(x^2+xy+y^2\right)+x^2\left(x+2y\right)\ge0\left(true\right)\)

Vậy BĐT được chứng minh

13 tháng 4 2020

WLOG \(c=min\left\{a;b;c\right\}\)

\(VT=\left(a+b+c\right)\left(a-b\right)^2+c\left(c-a\right)\left(c-b\right)\ge0=VP\)

29 tháng 7 2017

b) Ta có :

\(VT=\left(4x-3y+2\right)-\left(3x-4y+2\right)\)

\(=4x-3y+2-3x+4y-2\)

\(=\left(4x-3x\right)-\left(3y-4y\right)+\left(2-2\right)\)

\(=x+y\)

\(VP=\left(2x+2y\right)-\left(x+y\right)=2x+2y-x-y\)

\(=\left(2x-x\right)+\left(2y-y\right)\)

\(=x+y\)

\(\Rightarrow VT=VP\)

\(\Rightarrow\)đpcm

5 tháng 8 2018

\(\left(a+b\right)-\left(-a+b-c\right)+\left(c-a-b\right)\)

\(=a+b+a-b+c+c-a-b\)

\(=\)\(a-b+2c\)( đpcm )

\(a\left(b-c\right)-a\left(b+d\right)\)

\(=a\left(b-c-b-d\right)\)

\(=\)\(a\left(-c-d\right)\)

\(=-a\left(c+d\right)\)( đpcm )

học tốt

5 tháng 8 2018

Cảm ơn Thanh Ngân

15 tháng 1 2021

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

\(a^{10}b^2+b^{10}a^2\ge a^8b^4+b^8a^4\)

\(\Leftrightarrow a^8+b^8\ge a^6b^2+b^6a^2\) (Do \(a^2b^2\ge0\))

\(\Leftrightarrow\left(a^6-b^6\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2\left(a^4+a^2b^2+b^4\right)\ge0\) (luôn đúng).

Vậy ta có đpcm.

 

15 tháng 1 2021

bạn trình bày rõ ra vì sao lại có suy ra thứ 2 vậy. Giải thik cho mk đc ko Sigma CTV