Cho \(\left\{\begin{matrix}a,b,c>0\\a+b+c=1\end{matrix}\right.\) Tìm GTLN của \(S=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
25 tháng 1 2021
2: Điểm rơi... đẹp!
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM:
\(\left\{{}\begin{matrix}a^2+1\ge2a\\b^2+4\ge4b\\c^2+9\ge6c\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+14\ge2\left(a+2b+3c\right)=28\).
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge14\).
Đẳng thức xảy ra khi a = 1; b = 2; c = 3.
25 tháng 1 2021
1: Ta có \(y^2\ge6-x+x-2=4\Rightarrow y\ge2\).
Đẳng thức xảy ra khi x = 6 hoặc x = 2
\(y^2\le2\left(6-x+x-2\right)=8\Rightarrow y\le2\sqrt{2}\).
Đẳng thức xảy ra khi x = 4.
14 tháng 2 2021
Lâu rồi không lên Hoc24
Áp dụng bất đẳng thức Minkowski, Schwarz và AM - GM ta có:
\(S\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2}\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(\dfrac{9}{a+b+c}\right)^2}=\sqrt{\left[\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{81}{16\left(a+b+c\right)^2}\right]+\dfrac{81.15}{16\left(a+b+c\right)^2}}\ge\sqrt{\dfrac{9}{2}+\dfrac{135}{4}}=\sqrt{\dfrac{153}{4}}=\dfrac{3\sqrt{17}}{2}\).
14 tháng 2 2021
Sau khi chọn đc hệ số điểm rơi là 16 thì cơ sở nào tách tiếp ra 16 số rồi áp dụng cosi nữa vậy ạ??
10 tháng 3 2020
\(S=\sqrt[3]{a+b}+\sqrt[3]{b+c}+\sqrt[3]{c+a}\)
\(S.\sqrt[3]{\frac{4}{9}}=\Sigma\sqrt[3]{\frac{4}{9}\left(a+b\right)}\)
Áp dụng BĐT AM-GM cho các số dương, ta có:
\(\left(a+b\right)+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}\ge3\sqrt[3]{\frac{4}{9}\left(a+b\right)}\)
Tương tự ta có:
\(3S.\sqrt[3]{\frac{4}{9}}\le2\left(a+b+c\right)+\frac{2}{3}.6\) với \(a+b+c=1\)
\(\Leftrightarrow S.\sqrt[3]{\frac{4}{9}}\le2\) \(\Leftrightarrow S\le\frac{2}{\sqrt[3]{\frac{4}{9}}}\)
\(''=''\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)
N
25 tháng 11 2017
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1\Leftrightarrow ab+bc+ca=abc\)
Ta có: \(\sqrt{a+bc}=\sqrt{\dfrac{a^2+abc}{a}}=\sqrt{\dfrac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{a}}\)
thiết lập tương tự ,bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
\(\Leftrightarrow\sum\sqrt{\dfrac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{a}}\ge\sqrt{abc}+\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\)
\(\Leftrightarrow\sum\sqrt{bc\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\ge abc+\sqrt{abc}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\)
\(\Leftrightarrow\sum\sqrt{\left(b^2+ab\right)\left(c^2+ac\right)}\ge abc+\sum a\sqrt{bc}\)
Điều này luôn đúng theo BĐT Bunyakovsky:
\(\sum\sqrt{\left(b^2+ab\right)\left(c^2+ac\right)}\ge\sum\left(bc+a\sqrt{bc}\right)=abc+\sum a\sqrt{bc}\)
Dấu = xảy ra khi a=b=c=3
26 tháng 4 2020
Câu 1 chuyên phan bội châu
câu c hà nội
câu g khoa học tự nhiên
câu b am-gm dựa vào hằng đẳng thử rồi đặt ẩn phụ
câu f đặt \(a=\frac{2m}{n+p};b=\frac{2n}{p+m};c=\frac{2p}{m+n}\)
Gà như mình mấy câu còn lại ko bt nha ! để bạn tth_pro full cho nhé !
T
25 tháng 4 2020
Câu c quen thuộc, chém trước:
Ta có BĐT phụ: \(\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}\ge\frac{x^4}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\) \((\ast)\)
Hay là: \(\frac{1}{x^3+\left(y+z\right)^3}\ge\frac{x}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\)
Có: \(8(y^2+z^2) \Big[(x^2 +y^2 +z^2)^2 -x\left\{x^3 +(y+z)^3 \right\}\Big]\)
\(= \left( 4\,x{y}^{2}+4\,x{z}^{2}-{y}^{3}-3\,{y}^{2}z-3\,y{z}^{2}-{z}^{3 } \right) ^{2}+ \left( 7\,{y}^{4}+8\,{y}^{3}z+18\,{y}^{2}{z}^{2}+8\,{z }^{3}y+7\,{z}^{4} \right) \left( y-z \right) ^{2} \)
Từ đó BĐT \((\ast)\) là đúng. Do đó: \(\sqrt{\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}}\ge\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}\)
\(\therefore VT=\sum\sqrt{\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}}\ge\sum\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}=1\)
Done.
10 tháng 3 2020
\(S=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\)
\(S.\sqrt{\frac{2}{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}\left(a+b\right)}+\sqrt{\frac{2}{3}\left(b+c\right)}+\sqrt{\frac{2}{3}\left(c+a\right)}\)
Áp dụng BĐT AM-GM cho bộ hai số dương:
\(\left(a+b\right)+\frac{2}{3}\ge2\sqrt{\frac{2}{3}\left(a+b\right)}\)
Tương tự ta có:
\(2\left(\sqrt{\frac{2}{3}\left(a+b\right)}+\sqrt{\frac{2}{3}\left(a+b\right)}+\sqrt{\frac{2}{3}\left(c+a\right)}\right)\le2\left(a+b+c\right)+2\)
\(S.\sqrt{\frac{2}{3}}\le2\) \(\Leftrightarrow S\le\frac{2}{\sqrt{\frac{2}{3}}}\)
\(''=''\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)
29 tháng 8 2018
áp dụng bất đẳng thức mincopski ta có :
\(S=\sqrt{a^2+\dfrac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\dfrac{1}{c^2}}+\sqrt{c^2+\dfrac{1}{a^2}}\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2}\)
\(\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(\dfrac{9}{a+b+c}\right)^2}=\sqrt{3^2+\left(\dfrac{9}{3}\right)^2}=3\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow GTNN\) của \(S\) là \(3\sqrt{2}\) dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Bài của bạn @Nguyễn Nhật Minh vì áp dụng AM-GM sai nên sai rồi nhé.
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(S^2=(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a})^2\leq (a+b+b+c+c+a)(1+1+1)\)
\(\Leftrightarrow S^2\leq 6(a+b+c)=6\Rightarrow S\leq \sqrt{6}\)
Vậy \(S_{\max}=\sqrt{6}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 bộ số thực không âm
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\sqrt{a+b}\le\frac{a+b}{2}\\\sqrt{b+c}\le\frac{b+c}{2}\\\sqrt{a+c}\le\frac{c+a}{2}\end{matrix}\right.\)
Cộng theo từng vế:
\(\Rightarrow\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\le\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}\)
\(\Rightarrow\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\le\frac{2\left(a+b+c\right)}{2}\)
Ta có : \(a+b+c=1\)
\(\Rightarrow\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\le1\)
Vậy GTLN của \(S=1\)
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\frac{1}{18}\)