K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

AH
Akai Haruma
Giáo viên
1 tháng 2 2017

Bài của bạn @Nguyễn Nhật Minh vì áp dụng AM-GM sai nên sai rồi nhé.

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(S^2=(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a})^2\leq (a+b+b+c+c+a)(1+1+1)\)

\(\Leftrightarrow S^2\leq 6(a+b+c)=6\Rightarrow S\leq \sqrt{6}\)

Vậy \(S_{\max}=\sqrt{6}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)

1 tháng 2 2017

Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 bộ số thực không âm

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\sqrt{a+b}\le\frac{a+b}{2}\\\sqrt{b+c}\le\frac{b+c}{2}\\\sqrt{a+c}\le\frac{c+a}{2}\end{matrix}\right.\)

Cộng theo từng vế:

\(\Rightarrow\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\le\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}\)

\(\Rightarrow\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\le\frac{2\left(a+b+c\right)}{2}\)

Ta có : \(a+b+c=1\)

\(\Rightarrow\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\le1\)

Vậy GTLN của \(S=1\)

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\frac{1}{18}\)

10 tháng 3 2020

\(S=\sqrt[3]{a+b}+\sqrt[3]{b+c}+\sqrt[3]{c+a}\)

\(S.\sqrt[3]{\frac{4}{9}}=\Sigma\sqrt[3]{\frac{4}{9}\left(a+b\right)}\)

Áp dụng BĐT AM-GM cho các số dương, ta có:

\(\left(a+b\right)+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}\ge3\sqrt[3]{\frac{4}{9}\left(a+b\right)}\)

Tương tự ta có:

\(3S.\sqrt[3]{\frac{4}{9}}\le2\left(a+b+c\right)+\frac{2}{3}.6\) với \(a+b+c=1\)

\(\Leftrightarrow S.\sqrt[3]{\frac{4}{9}}\le2\) \(\Leftrightarrow S\le\frac{2}{\sqrt[3]{\frac{4}{9}}}\)

\(''=''\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)

1. a) \(\left\{{}\begin{matrix}x,y,z0\\xyz=1\end{matrix}\right.\). Tìm max \(P=\frac{1}{\sqrt{x^5-x^2+3xy+6}}+\frac{1}{\sqrt{y^5-y^2+3yz+6}}+\frac{1}{\sqrt{z^5-z^2+zx+6}}\) b) \(\left\{{}\begin{matrix}x,y,z0\\xyz=8\end{matrix}\right.\). Min \(P=\frac{x^2}{\sqrt{\left(1+x^3\right)\left(1+y^3\right)}}+\frac{y^2}{\sqrt{\left(1+y^3\right)\left(1+z^3\right)}}+\frac{z^2}{\sqrt{\left(1+z^3\right)\left(1+x^3\right)}}\) c) \(x,y,z0.\) Min...
Đọc tiếp

1. a) \(\left\{{}\begin{matrix}x,y,z>0\\xyz=1\end{matrix}\right.\). Tìm max \(P=\frac{1}{\sqrt{x^5-x^2+3xy+6}}+\frac{1}{\sqrt{y^5-y^2+3yz+6}}+\frac{1}{\sqrt{z^5-z^2+zx+6}}\)

b) \(\left\{{}\begin{matrix}x,y,z>0\\xyz=8\end{matrix}\right.\). Min \(P=\frac{x^2}{\sqrt{\left(1+x^3\right)\left(1+y^3\right)}}+\frac{y^2}{\sqrt{\left(1+y^3\right)\left(1+z^3\right)}}+\frac{z^2}{\sqrt{\left(1+z^3\right)\left(1+x^3\right)}}\)

c) \(x,y,z>0.\) Min \(P=\sqrt{\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}}+\sqrt{\frac{y^3}{y^3+\left(z+x\right)^3}}+\sqrt{\frac{z^3}{z^3+\left(x+y\right)^3}}\)

d) \(a,b,c>0;a^2+b^2+c^2+abc=4.Cmr:2a+b+c\le\frac{9}{2}\)

e) \(\left\{{}\begin{matrix}a,b,c>0\\a+b+c=3\end{matrix}\right.\). Cmr: \(\frac{a}{b^3+ab}+\frac{b}{c^3+bc}+\frac{c}{a^3+ca}\ge\frac{3}{2}\)

f) \(\left\{{}\begin{matrix}a,b,c>0\\ab+bc+ca+abc=4\end{matrix}\right.\) Cmr: \(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\le3\)

g) \(\left\{{}\begin{matrix}a,b,c>0\\ab+bc+ca+abc=2\end{matrix}\right.\) Max : \(Q=\frac{a+1}{a^2+2a+2}+\frac{b+1}{b^2+2b+2}+\frac{c+1}{c^2+2c+2}\)

3
26 tháng 4 2020

Câu 1 chuyên phan bội châu

câu c hà nội

câu g khoa học tự nhiên

câu b am-gm dựa vào hằng đẳng thử rồi đặt ẩn phụ

câu f đặt \(a=\frac{2m}{n+p};b=\frac{2n}{p+m};c=\frac{2p}{m+n}\)

Gà như mình mấy câu còn lại ko bt nha ! để bạn tth_pro full cho nhé !

25 tháng 4 2020

Câu c quen thuộc, chém trước:

Ta có BĐT phụ: \(\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}\ge\frac{x^4}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\) \((\ast)\)

Hay là: \(\frac{1}{x^3+\left(y+z\right)^3}\ge\frac{x}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\)

Có: \(8(y^2+z^2) \Big[(x^2 +y^2 +z^2)^2 -x\left\{x^3 +(y+z)^3 \right\}\Big]\)

\(= \left( 4\,x{y}^{2}+4\,x{z}^{2}-{y}^{3}-3\,{y}^{2}z-3\,y{z}^{2}-{z}^{3 } \right) ^{2}+ \left( 7\,{y}^{4}+8\,{y}^{3}z+18\,{y}^{2}{z}^{2}+8\,{z }^{3}y+7\,{z}^{4} \right) \left( y-z \right) ^{2} \)

Từ đó BĐT \((\ast)\) là đúng. Do đó: \(\sqrt{\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}}\ge\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}\)

\(\therefore VT=\sum\sqrt{\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}}\ge\sum\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}=1\)

Done.

10 tháng 3 2020

\(S=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\)

\(S.\sqrt{\frac{2}{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}\left(a+b\right)}+\sqrt{\frac{2}{3}\left(b+c\right)}+\sqrt{\frac{2}{3}\left(c+a\right)}\)

Áp dụng BĐT AM-GM cho bộ hai số dương:

\(\left(a+b\right)+\frac{2}{3}\ge2\sqrt{\frac{2}{3}\left(a+b\right)}\)

Tương tự ta có:

\(2\left(\sqrt{\frac{2}{3}\left(a+b\right)}+\sqrt{\frac{2}{3}\left(a+b\right)}+\sqrt{\frac{2}{3}\left(c+a\right)}\right)\le2\left(a+b+c\right)+2\)

\(S.\sqrt{\frac{2}{3}}\le2\) \(\Leftrightarrow S\le\frac{2}{\sqrt{\frac{2}{3}}}\)

\(''=''\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)

17 tháng 3 2021

Áp dụng bđt Bun-nhi-a

\(S^2\)=\(\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)^2\)<_(1+1+1)(a+b+b+c+c+a)=6

29 tháng 8 2018

áp dụng bất đẳng thức mincopski ta có :

\(S=\sqrt{a^2+\dfrac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\dfrac{1}{c^2}}+\sqrt{c^2+\dfrac{1}{a^2}}\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2}\)

\(\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(\dfrac{9}{a+b+c}\right)^2}=\sqrt{3^2+\left(\dfrac{9}{3}\right)^2}=3\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow GTNN\) của \(S\)\(3\sqrt{2}\) dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

27 tháng 6 2020

Ta có : \(\sqrt{A}=B\)

=> \(\left|A\right|=B^2\)

\(\left\{{}\begin{matrix}B\ge0\\A=B^2\end{matrix}\right.\) => \(A\ge0\)

=> \(A=B^2\)

27 tháng 6 2020

chép lại thôi à