Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì \(2a^2b^2+2b^2c^2+2a^2c^2-a^4-b^4-c^4>0\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
22 tháng 7 2015
Ta có: A = a4 + b4 + c4 - 2a2b2 - 2b2c2 - 2a2c2 = (a2)2 + (b2)2 + (c2)2 + 2a2b2 - 2b2c2 - 2a2c2 + 4a2b2 = (a2 + b2 - c2)2 - 4a2b2
= (a2 + b2 - c2 - 2ab).(a2 + b2 - c2 + 2ab) (1)
Vì a; b;c là 3 cạnh của tam giác nên c > |a - b| => c2 > (|a - b|)2 = (a - b)2
=> c2 > a2 + b2 - 2ab => a2 + b2 - c2 - 2ab < 0 (2)
lại có : a+ b > c => (a+ b) 2 > c2 => a2 + b2 - c2 + 2ab > 0 (3)
Từ (1)(2)(3) => A < 0 => đpcm
28 tháng 1 2021
444448888855555695+777+6666555888852652522222222222222222256585965
28 tháng 1 2021
Đặt A=2a2b2+2c2a2+2b2c2 - a4 - b4 - c4
A= - ( a4 + b4 + c4 - 2(ab)2 - 2(bc)2-2(ca)2)
A= - (a4 + b4 + c4 - 2(ab)2 - 2(bc)2-2(ca)2 - 4(ca)2)
áp dụng hàng đẳng thức:
(a2-b2+c2)=a4+b4+c4-2(ab)2-2(bc)2+2(ca)2
A= - ( (a2-b2+c2)-4(ca)2)
A= - (a2-b2+c2-2ca) (a2-b2+c2+2ca)
CHÚC BẠN HỌC TỐT##
Giải
Ta có \(2a^2b^2+2b^2c^2+2a^2c^2-a^4-b^4-c^4\)
\(=4a^2c^2-\left(a^4+b^4+c^4-2a^2b^2+2a^2c^2-2b^2c^2\right)\)
\(=4a^2c^2-\left(a^2-b^2+c^2\right)^2\)
\(=\left(2ac+a^2-b^2+c^2\right)\left(2ac-a^2+b^2-c^2\right)\)
\(=\left[\left(a+c\right)^2-b^2\right]\left[b^2-\left(a-c\right)^2\right]\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a+c-b\right)\left(b+a-c\right)\left(b-a+c\right)\)
Vì a, b, c là ba cạnh của một tam giác nên:
a + b + c > 0, a + c - b > 0, b + a - c > 0, b - a + c > 0
Vậy \(2a^2b^2+2b^2c^2 +2a^2c^2-a^4-b^4-c^4>0\)