1,Cho các số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện : \(a^2 b^2 c^2=3\) và \(a b c ab ac bc=6\).Tính \(A=\frac{a^{30} b^4 c^{1975}}{a^{30} b^4 c^{2014}}\)2, Cho \(a,b,c\ne0\) thỏa mãn \(\left(1 \frac{b}{a}\rig...

0

KH

Kamato Heiji

15 tháng 1 2021

Cho các số thực a,b,c thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=3\) và \(a+b+c+ab+bc+ca=6\)

Tính giá trị biểu thức : A=\(\dfrac{a^{30}+b^4+c^{1975}}{a^{30}+b^4+c^{2019}}\)

2

TT

Thu Thao

15 tháng 1 2021

hoc24.vn

Khác số chút thoyy.

Đúng(1)

KH

Kamato Heiji

15 tháng 1 2021

Cảm ơn bạn nhiều !

DT

Đạt TL

16 tháng 7 2020

a)Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c=1

cm: \(a^3+b^3+c^3\le\frac{1}{8}+a^4+b^4+c^4\)

b)Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh:

\(\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1}\le\frac{9}{10}\)

4

ZC

zZz Cool Kid_new zZz

16 tháng 7 2020

Mình xài p,q,r nhé :))

Ta có:

\(a^3+b^3+c^3=p^3-3pq+3r=1-3q+3r\)

\(a^4+b^4+c^4=1-4q+2q^2+4r\)

Khi đó BĐT tương đương với:

\(\frac{1}{8}+2q^2+4r-4q+1\ge1-3q+3r\)

\(\Leftrightarrow2q^2-q+\frac{1}{8}+r\ge0\)

\(\Leftrightarrow2\left(q-\frac{1}{4}\right)+r\ge0\) ( đúng )

T

tth_new

21 tháng 7 2020

\(a^4+b^4+c^4+\frac{1}{8}\left(a+b+c\right)^4\ge\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(a+b+c\right)\)

Khúc đầu có gì đâu nhỉ: \(a^3+b^3+c^3=\left(a+b+c\right)^3-3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)

\(=p^3-3\left[\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\right]\)

\(=p^3-3pq+3r\)

--------------------------------------

\(a^4+b^4+c^4=\left(a^2+b^2+c^2\right)^2-2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)

\(=\left[\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)\right]^2-2\left[\left(ab+bc+ca\right)^2-2abc\left(a+b+c\right)\right]\)

\(=\left(p^2-2q\right)^2-2\left(q^2-2pr\right)\)

\(=p^4-4p^2q+2q^2+4pr\)

Xem thêm các đẳng thức thông dụng tại: https://bit.ly/3hllKCq

Bài 1: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn các điều kiện \(\left(a+c\right)\left(b+c\right)=4c^2\). Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức\(P=\frac{a}{b+3c}+\frac{b}{a+3c}+\frac{ab}{bc+ca}\)Bài 2: Cho x,y,z thỏa mãn x+y+z=0 và \(x^2+y^2+z^2=1\). Tìm GTLN của biểu thức \(P=x^5+y^5+z^5\)Bài 3: Cho a,b,c dương thỏa mãn \(a+b+c=1.\)Tìm...

LT

Lê Tài Bảo Châu

25 tháng 10 2020

Đọc tiếp

3

KN

Kiệt Nguyễn

25 tháng 10 2020

Bài 4: Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có: \(P=\text{}\Sigma_{cyc}a\sqrt{b^3+1}=\Sigma_{cyc}a\sqrt{\left(b+1\right)\left(b^2-b+1\right)}\le\Sigma_{cyc}a.\frac{\left(b+1\right)+\left(b^2-b+1\right)}{2}=\Sigma_{cyc}\frac{ab^2+2a}{2}=\frac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)+3\)Giả sử b là số nằm giữa a và c thì \(\left(b-a\right)\left(b-c\right)\le0\Rightarrow b^2+ac\le ab+bc\)\(\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2\le a^2b+abc+bc^2\le a^2b+2abc+bc^2=b\left(a+c\right)^2=b\left(3-b\right)^2\)

Ta sẽ chứng minh: \(b\left(3-b\right)^2\le4\)(*)

Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\left(b-4\right)\left(b-1\right)^2\le0\)(đúng với mọi \(b\in[0;3]\))

Từ đó suy ra \(\frac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)+3\le\frac{1}{2}.4+3=5\)

Đẳng thức xảy ra khi a = 2; b = 1; c = 0 và các hoán vị

KN

Kiệt Nguyễn

26 tháng 10 2020

Bài 1: Đặt \(a=xc,b=yc\left(x,y>0\right)\)thì điều kiện giả thiết trở thành \(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4\)

Khi đó \(P=\frac{x}{y+3}+\frac{y}{x+3}+\frac{xy}{x+y}=\frac{x^2+y^2+3\left(x+y\right)}{xy+3\left(x+y\right)+9}+\frac{xy}{x+y}\)\(=\frac{\left(x+y\right)^2+3\left(x+y\right)-2xy}{xy+3\left(x+y\right)+9}+\frac{xy}{x+y}\)

Có: \(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4\Rightarrow xy=3-\left(x+y\right)\)

Đặt \(t=x+y\left(0< t< 3\right)\Rightarrow xy=3-t\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{t^2}{4}\Rightarrow t\ge2\)(do t > 0)

Lúc đó \(P=\frac{t^2+3t-2\left(3-t\right)}{3-t+3t+9}+\frac{3-t}{t}=\frac{t}{2}+\frac{3}{t}-\frac{3}{2}\ge2\sqrt{\frac{t}{2}.\frac{3}{t}}-\frac{3}{2}=\sqrt{6}-\frac{3}{2}\)với \(2\le t< 3\)

Vậy \(MinP=\sqrt{6}-\frac{3}{2}\)đạt được khi \(t=\sqrt{6}\)hay (x; y) là nghiệm của hệ \(\hept{\begin{cases}x+y=\sqrt{6}\\xy=3-\sqrt{6}\end{cases}}\)

Ta lại có \(P=\frac{t^2-3t+6}{2t}=\frac{\left(t-2\right)\left(t-3\right)}{2t}+1\le1\)(do \(2\le t< 3\))

Vậy \(MaxP=1\)đạt được khi t = 2 hay x = y = 1

BB

Băng Băng

4 tháng 6 2020

1) Cho các số dương a và b thỏa mãn điều kiện a¹⁰⁰+b¹⁰⁰=a¹⁰¹+b¹⁰¹=a¹⁰²+b¹⁰²

Chúng minh: \(\frac{a+b}{ab}=\frac{a^2+b^2}{a^2b^2}\)

2) Cho a,b,c là các số khác 0 thỏa mãn điều kiện \(\frac{ab}{a+b}=\frac{bc}{b+c}=\frac{ac}{c+a}\)

Tính: (a-b)³+(b-c)³+(c-a)³

#Toán lớp 7

0

PD

Phan Đình Trường

23 tháng 6 2017

Cho số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện: \(a^2+b^2+c^2=3\) và \(a+b+c+ab+bc+ca=6\)

Tính giả trị biểu thức \(A=\dfrac{a^{30}+b^4+c^{1975}}{a^{30}+b^4+c^{2014}}\)

1

LF

Lightning Farron

23 tháng 6 2017

Ta có:

\(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)

Thiết lập 2 BĐT tương tự ta có:

\(b^2+c^2\ge2bc;c^2+a^2\ge2ca\)

Và \(\left(a-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2-2a+1\Leftrightarrow a^2+1\ge2a\)

Và tương tự \(b^2+1\ge2b;c^2+1\ge2c\)

Cộng theo vế các BĐT trên ta có:

\(2ab+2bc+2ca+2a+2b+2c\le3a^2+3b^2+3c^2+3\)

\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ca+a+b+c\right)\le3\left(a^2+b^2+c^2+1\right)\)

\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ca+a+b+c\right)\le12\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ca+a+b+c\le6\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Khi đó \(A=\dfrac{a^{30}+b^4+c^{1975}}{a^{30}+b^4+c^{2014}}=\dfrac{1+1+1}{1+1+1}=1\)

NL

Nguyễn Lệ Ngân

4 tháng 6 2018

1) Cho 3 số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện: a+b+c+ab+bc+ca=6
CMR: a²+b²+c²>=3
2) Cho x,y là các số dương thỏa mãn x+y<=1
Tìm GTNN của \(P=\frac{1}{2\left(x^2+y^2\right)}+\frac{4}{xy}+2xy\)

0

BV

Bùi Văn Duy

27 tháng 2 2018

thực hiện phép tính \(\frac{1}{4}.\frac{2}{6}.\frac{3}{8}...\frac{30}{62}.\frac{31}{64}\)

tìm a,b,c không âm,thỏa mãn đồng thời 3 điều kiện a+3c=2014,a+2b=2015,a+b+c có giá trị lớn nhất

#Toán lớp 7

1

GL

ღ๖ۣۜLinh's ๖ۣۜLinh'sღ] ★we are one★

27 tháng 2 2018

=\(\frac{1.2.3...30.31}{2\left(2.3.4...31\right).64}=\frac{1}{128}\)

Bài 1:Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b=1.Tìm GTNN của bt sau\(a,A=\frac{2}{ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{a^4+b^4}{2}\)\(b,B=\frac{1}{ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{a^8+b^8}{4}\)Bài 2:Cho a,b,c là 3 số dương thỏa mãn a+b+c=9.tìm GTNN của bt\(a,A=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{b+a}\) \(b,B=\frac{a^3}{c^2+b^2}+\frac{b^3}{a^2+c^2}+\frac{c^3}{a^2+b^2}\)Bai 3:Cho x,y là 2 số dương thỏa mãn \(x^2+y^2=4\) Tìm GTNN của...

QT

Quyết Tâm Chiến Thắng

10 tháng 9 2019

Đọc tiếp

4

N

Nyatmax

11 tháng 9 2019

1a

\(A=\frac{3}{2ab}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{a^4+b^4}{2}\ge\frac{6}{\left(a+b\right)^2}+\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}}{2}\)

\(\ge10+\frac{\left[\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\right]^2}{4}=10+\frac{1}{16}=\frac{161}{16}\)

Dau '=' xay ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)

Vay \(A_{min}=\frac{161}{16}\)

N

Nyatmax

11 tháng 9 2019

1b.\(B=\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{a^8+b^8}{4}\ge\frac{2}{\left(a+b\right)^2}+\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{\frac{\left(a^4+b^4\right)^2}{2}}{4}\)

\(\ge6+\frac{\left[\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\right]^2}{8}\ge6+\frac{\left[\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\right]^2}{32}=6+\frac{1}{128}=\frac{769}{128}\)

Dau '=' xay ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)

Vay \(B_{min}=\frac{769}{128}\)khi \(a=b=\frac{1}{2}\)

NM

Nguyễn Mai

23 tháng 12 2019

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a+b+c=3. Tìm GTLN của biểu thức:\(P=3\left(ab+bc+ca\right)+\frac{1}{2}\left(a-b\right)^2+\frac{1}{4}\left(b-c\right)^2+\frac{1}{8}\left(c-a\right)^2\)