K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

28 tháng 5 2021

Do I là trực tâm của tam giác KAB nên K, I, H thẳng hàng.

Tứ giác AMIH nội tiếp nên \(\widehat{MHI}=\widehat{MAI}\).

Tương tự, \(\widehat{NHI}=\widehat{NBI}\).

Lại có \(\widehat{MAI}=\widehat{NBI}=90^o-\widehat{AKB}\) nên \(\widehat{MHI}=\widehat{NHI}\).

Vậy HK là phân giác của góc MHN.

NV
12 tháng 1

a.

DO ABCD là hình vuông \(\Rightarrow\widehat{ACD}=45^0\)

\(\Rightarrow\widehat{ACD}=\widehat{EBN}\)

Mà \(\widehat{ACD}\) và \(\widehat{EBN}\) cùng chắn EN

\(\Rightarrow\) Tứ giác BENC nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{BEN}+\widehat{BCN}=180^0\)

\(\Rightarrow\widehat{BEN}=180^0-\widehat{BCN}=180^0-90^0=90^0\)

\(\Rightarrow NE\perp BM\) tại E

b.

Tương tự ta có tứ giác ABFM nội tiếp (\(\widehat{MAF}=\widehat{MBF}=45^0\) cùng chắn MF)

\(\Rightarrow\widehat{BFM}+\widehat{BAM}=180^0\)

\(\Rightarrow\widehat{BFM}=90^0\Rightarrow MF\perp BN\)

\(\Rightarrow I\) là trực tâm của tam giác BMN

\(\Rightarrow BI\perp MN\)

NV
12 tháng 1

c.

Gọi H là giao điểm BI và MN

Do E và F cùng nhìn MN dưới 1 góc vuông 

\(\Rightarrow\) Tứ giác EFMN nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{EMN}+\widehat{EFN}=180^0\)

Mà \(\widehat{EFN}+\widehat{EFB}=180^0\)

\(\Rightarrow\widehat{EMN}=\widehat{EFB}\)

Lại có tứ giác ABFM nội tiếp (A và F cùng nhìn BM dưới 1 góc vuông)

\(\Rightarrow\widehat{EFB}=\widehat{AMB}\) (cùng chắn AB)

\(\Rightarrow\widehat{EMN}=\widehat{AMB}\)

\(\Rightarrow\Delta_VAMB=\Delta_VHMB\left(ch-gn\right)\)

\(\Rightarrow AM=HM\)

Đồng thời suy ra \(AB=BH\Rightarrow BH=BC\) (do AB=BC)

Theo Pitago: \(\left\{{}\begin{matrix}HN=\sqrt{BN^2-BH^2}\\CN=\sqrt{BN^2-BC^2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow CN=HN\)

\(\Rightarrow AM+CN=MH+NH=MN\)

\(\Rightarrow MD+DN+MN=MD+DN+AM+CN=AD+CD=2a\)

Pitago: \(MN^2=DM^2+DN^2\ge\dfrac{1}{2}\left(DM+DN\right)^2\Rightarrow MN\ge\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(DM+DN\right)\)

\(\Rightarrow2a-\left(DM+DN\right)\ge\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(DM+DN\right)\)

\(\Rightarrow2a\ge\left(\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}\right)\left(DM+DN\right)\ge\left(2+\sqrt{2}\right).\sqrt{DM.DN}\)

\(\Rightarrow DM.DN\le\left(6-4\sqrt{2}\right)a^2\)

\(\Rightarrow S_{MDN}=\dfrac{1}{2}DM.DN\le\left(3-2\sqrt{2}\right)a^2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(DM=DN=\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)a\)

a: Xét ΔBAMvà ΔBNM có

BA=BN

góc ABM=góc NBM

BM chung

=>ΔBAM=ΔBNM

=>MA=MN

b: Xét ΔBNK vuông tại N và ΔBAC vuông tại A có

BN=BA

góc NBK chung

=>ΔBNK=ΔBAC

=>BK=BC

Xét ΔMAK vuông tại A và ΔMNC vuông tại N có

MA=MN

góc AMK=góc NMC

=>ΔMAK=ΔMNC

=>MK=MC

=>BM là trung trực của CK

=>B,M,I thẳng hàng