Cho đường tròn nội tiếp \(\Delta\)ABC tiếp xúc 3 cạnh AB; BC; AC tại các điểm D, E, F. Đường thẳng qua D song song với BC cắt EF tại G. Chứng minh rằng trung điểm I của DG nằm trên AE
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
10 tháng 1 2022
Pitago: \(BC^2=AB^2+AC^2\Rightarrow BC^2-\left(AB^2+AC^2\right)=0\)
Gọi các tiếp điểm với AB và AC là E và F
Do đường tròn (I) nội tiếp tam giác, theo t/c hai tiếp tuyến cắt nhau:
\(BD=BE\) ; \(AE=AF\) ; \(CD=CF\)
Mà \(BD+CD=BC;AE+BE=AB;AF+CF=AC\)
\(\Rightarrow BC+AB-AC=BD+CD+AB+BE-AF-CF=BD+BE=2BD\)
\(\Rightarrow BD=\dfrac{BC+AB-AC}{2}\)
Tương tự: \(BC+AC-AB=2DC\Rightarrow DC=\dfrac{BC+AC-AB}{2}\)
\(\Rightarrow BD.DC=\dfrac{1}{4}\left(BC+AB-AC\right)\left(BC+AC-AB\right)=\dfrac{1}{4}\left[BC^2-\left(AB-AC\right)^2\right]\)
\(=\dfrac{1}{4}\left(BC^2-\left(AB^2+AC^2\right)+2AB.AC\right)=\dfrac{1}{2}AB.AC=S_{ABC}\)
24 tháng 3 2023
Bổ sung: ΔABC cân tại A
ΔABC cân tại A
=>AO đi qua trug diểm I của EF
Vẽ IK vuông góc AB tại K, gọi H và G lần lượt là giao của OA với BC và(O)
Vì OE vuông góc AB, IK vuông goc AB, GB vuông góc AB
=>OE//IK//GB
ΔABG có IK//GB
nên IK/BG=AI/AG
=>IK=AI*BG/AG
ΔABH có EI//BH
ΔABE có OE//BG
=>IH/AH=BE/BA=OG/AG và AE/AB=AI/AH
=>IH=AH*OE/AE
ΔABG có OE//BG
nên AB/AE=BG/OE
AH/AI=AB/AE=BG/OE
=>AH*OE=AI*BG
=>AH*OG=AI*BG
=>IK=IH
=>ĐPCM
NN
22 tháng 8 2021
Ta có: AE’ = AF’, BD’ = BF’, CD’ = CE’ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).
Suy ra
AE’ + AF’ = (AC + CE’) + (AB + BF’)
= (AC + CD’) + (AB + BD’) = AC + BC + AB = 2p.
Do đó: AE’ = AF’ = p.